Théorèmes de géométrie dans les triangles

Plan de cours

Concentré du cours de géométrie du collège, contenant :

  • les relations entre le triangle rectangle et le cercle ;
  • les propriétés de Pythagore ;
  • les propriétés des milieux ;
  • les propriétés de Thalès.

Sans démonstration.

1- Propriété des angles

Théorème 1

Dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180°.
Précisément, pour un triangle ABCABC, on a la relation A^+B^+C^=180\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180

Cette relation permet de calculer la mesure en degrés d’un angle dès que l’on connaît celles des deux autres.

2 - Propriétés du cercle circonscrit

Il est bien connu que, pour tout triangle ABCABC, il existe un unique cercle passant par les trois sommets AA, BB et CC : c’est le cercle circonscrit au triangle.

Son centre est situé à l’intersection des médiatrices de chacun des côtés du triangle : ce point est équidistant des sommets.

image

2.1 - Le théorème direct

On rappelle que, dans un triangle rectangle, le côté qui est opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.

Théorème 2

Pour tout triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le
centre du cercle circonscrit
.

image

Lorsque l’angle APB^\widehat{APB} est droit, alors [AB][AB] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle PABPAB.

En conséquence, la médiane [PO][PO] issue de l’angle droit est un rayon du cercle, et donc mesure la moitié de l’hypoténuse : PO=AB÷2\boxed{PO = AB \div 2}

Ce théorème permet de prouver que le sommet de l’angle droit est situé sur un cercle particulier ; il permet aussi de calculer la longueur de la médiane issue de l’angle droit.

2.2 La réciproque

Théorème 3

Le triangle formé en reliant un point situé sur un cercle aux
extrémités de l’un de ses diamètres est un triangle rectangle.

Précisément, si [AB][AB] est un diamètre du cercle et si PP est un point de ce cercle, alors le triangle PABPAB est rectangle en PP.

C’est un théorème permettant de prouver qu’un triangle est rectangle.

3 Propriétés de Pythagore

3.1 Le théorème direct

Théorème 4

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal
à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

Dans la figure suivante, en notant AB=xAB = x, AC=yAC = y et BC=zBC = z, on a :

x2+y2=z2\boxed{x^2 + y^2 = z^2}

C’est la relation de Pythagore entre les côtés xx, yy et zz d’un triangle rectangle.

image

Lorsqu’un triangle est rectangle, on peut donc calculer l’un des côtés à partir des deux autres.

On peut aussi utiliser ainsi ce théorème : si l’on connaît les trois côtés et si ceux-ci ne vérifient pas la relation de Pythagore, alors le triangle n’est pas rectangle.

3.2 La réciproque

Théorème 5

Dans un triangle, si le carré du plus grand des côtés est égal à la somme des carrés des deux plus petits côtés, alors le triangle est rectangle.

Lorsqu’on connaît les longueurs des trois côtés xx, yy et zz, on peut donc prouver qu’un triangle est rectangle si ces nombres vérifient la relation de Pythagore.

4 Propriétés des milieux

4.1 Le théorème direct

Théorème 6

_Dans tout triangle, les milieux de deux côtés sont tels que

  • la droite qui joint ces milieux est parallèle au troisième côté,
  • le segment qui joint ces milieux mesure la moitié du troisième côté.

Ci-dessous, MM étant le milieu de [AB][AB] et NN étant celui de [AC][AC], alors on a :

(MN)//(BC)(MN) // (BC) et MN=BC÷2MN = BC \div 2.

image

Ce théorème permet dans certains cas de prouver que deux droites sont parallèles ou bien de calculer une longueur.

4.2 La réciproque

Théorème 7

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté
en étant parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe nécessairement le troisième côté en son milieu.

Ceci permet de prouver qu’un point donné est le milieu d’un segment.

5 Propriétés de Thalès

5.1 Le théorème direct

Théorème 8

Deux triangles à côtés parallèles ont leurs côtés proportionnels ; précisément si (MA)(MA) et (NB)(NB) sont sécantes en SS, et si (MN)(MN) est parallèle à (AB)(AB), alors on a :

SMSA=SNSB=MNAB\boxed{\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{MN}{AB}}

Ci-dessous, on illustre les deux cas de figure habituels, selon que les parallèles sont d’un même côté du sommet SS (configuration « triangulaire ») ou bien sont situées de part et d’autre de SS (configuration « papillon »).

image

Ce théorème permet de calculer un côté à partir d’autres, sachant le parallélisme des côtés. Il permet aussi de prouver que des droites ne sont pas parallèles (lorsque les rapports ne sont pas égaux).

5.2 La réciproque

Théorème 9

Lorsque (AM)(AM) et (BN)(BN) sont sécantes en SS et si :

  • d’une part, les points SS, AA et MM se suivent dans le même ordre que les points SS, BB et NN,
  • d’autre part, les rapports SMSA\dfrac{SM}{SA} et SNSB\dfrac{SN}{SB} sont égaux,

alors les droites (AB)(AB) et (MN)(MN) sont parallèles.

C’est un théorème permettant de prouver que deux droites sont parallèles dans des conditions strictes d’alignement et de proportionnalité.