Réduction et racines carrées
1 - Rappels
La racine carrée d’un nombre a ⩾ 0 a \geqslant 0 a ⩾ 0 a \sqrt{a} a ( a ) 2 = a (\sqrt{a})^2=a ( a ) 2 = a
Le symbole a \sqrt{a} a radical , on dit aussi que a est le radicande .
La propriété fondamentale suivante est vérifiée pour tous a a a b b b
a × b = a × b \sqrt{a \times b} = \sqrt {a} \times \sqrt{b} a × b = a × b
Une conséquence de cette formule est le fait que, pour a a a b b b
a 2 × b = a b \sqrt {a^2 \times b} = a \sqrt{b} a 2 × b = a b
2 - Réduction du radicande
Lorsque le nombre figurant sous la racine carrée contient un facteur carré, on peut effectuer la simplification suivante :
A = 490 = 49 × 10 = 49 × 10 = 7 × 10 A = \sqrt{490} = \sqrt{49 \times 10} = \sqrt{49} \times
\sqrt{10} = \boxed{7\times \sqrt{10}} A = 4 9 0 = 4 9 × 1 0 = 4 9 × 1 0 = 7 × 1 0
C’est l’extraction des facteurs carrés du radicande.2 2 = 4 2^2 = 4 2 2 = 4 3 2 = 9 3^2 = 9 3 2 = 9 4 2 = 16 4^2 = 16 4 2 = 1 6 5 2 = 25 5^2 = 25 5 2 = 2 5 6 2 = 36 6^2 = 36 6 2 = 3 6 7 2 = 49 7^2 = 49 7 2 = 4 9 8 2 = 64 8^2 = 64 8 2 = 6 4 9 2 = 81 9^2 = 81 9 2 = 8 1 1 0 2 = 100 10^2 = 100 1 0 2 = 1 0 0
Exercice 1
Simplifier ainsi les radicandes suivants :
B = 98 B = \sqrt{98} B = 9 8 C = 50 C = \sqrt{50} C = 5 0 D = 108 D = \sqrt{108} D = 1 0 8
Les réponses sont données à la section 4.1.
3- Réduire des sommes de radicaux
Lorsque les radicandes ne peuvent pas être simplifiés, on procède ainsi
E = 3 2 + 4 5 − 7 2 + 5 − 2 5 E = 3\sqrt{2}+ 4\sqrt{5}-7\sqrt{2} +\sqrt{5}-2\sqrt{5} E = 3 2 + 4 5 − 7 2 + 5 − 2 5 = ( 3 − 7 ) 2 + ( 4 + 1 − 2 ) 5 = (3-7)\sqrt{2} + (4+1-2)\sqrt{5} = ( 3 − 7 ) 2 + ( 4 + 1 − 2 ) 5 = − 4 2 + 3 5 \boxed{=-4\sqrt{2}+ 3\sqrt{5}} = − 4 2 + 3 5
Exercice 2
Réduire de la même manière les expressions suivantes :
F = 6 5 − 5 3 + 4 5 − 3 − 2 5 + 10 3 F = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - \sqrt{3} -2\sqrt{5} + 10 \sqrt{3} F = 6 5 − 5 3 + 4 5 − 3 − 2 5 + 1 0 3
G = 3 , 5 6 − 3 10 + 1 , 2 6 + 10 − 2 , 7 6 G = 3{,}5\sqrt{6}-3\sqrt{10}+ 1{,}2 \sqrt{6} +\sqrt {10}-2{,}7\sqrt{6} G = 3 , 5 6 − 3 1 0 + 1 , 2 6 + 1 0 − 2 , 7 6
Les réponses sont données à la section 4.2.
Lorsque les radicandes peuvent être simplifiés , on commence par extraire les facteurs carrés, puis on effectue la réduction comme ci-dessus.
H = 12 − 8 − 5 27 + 4 50 H = \sqrt{12} -\sqrt{8} - 5\sqrt{27} + 4\sqrt{50} H = 1 2 − 8 − 5 2 7 + 4 5 0 = 4 × 3 − 4 × 2 − 5 9 × 3 + 4 25 × 2 = \sqrt{4} \times \sqrt{3} -\sqrt{4} \times \sqrt{2} - 5\sqrt{9} \times \sqrt{3} + 4\sqrt{25} \times \sqrt{2} = 4 × 3 − 4 × 2 − 5 9 × 3 + 4 2 5 × 2 = 2 3 − 2 2 − 5 × 3 × 3 + 4 × 5 × 2 = 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-5 \times 3 \times \sqrt{3} + 4 \times 5 \times \sqrt{2} = 2 3 − 2 2 − 5 × 3 × 3 + 4 × 5 × 2 = ( 2 − 15 ) 3 + ( − 2 + 20 ) 2 = (2 - 15)\sqrt{3} + (-2 + 20)\sqrt{2} = ( 2 − 1 5 ) 3 + ( − 2 + 2 0 ) 2 = − 13 3 + 18 2 =\boxed{ -13\sqrt{3} + 18\sqrt{2}} = − 1 3 3 + 1 8 2
Exercice 3
Simplifier comme ci-dessus les expressions suivantes.
I = 700 + 2 75 − 3 28 + 48 I = \sqrt{700} + 2\sqrt{75} - 3\sqrt{28} +\sqrt{48} I = 7 0 0 + 2 7 5 − 3 2 8 + 4 8 J = 3 15 − 162 + 8 − 125 + 3 20 J = \sqrt{3}15 - \sqrt{162} + \sqrt{8} - \sqrt{125} + 3\sqrt{20} J = 3 1 5 − 1 6 2 + 8 − 1 2 5 + 3 2 0 K = 256 + 4 180 − 15 − 5 80 . K = \sqrt {256} + 4\sqrt{180} - 15 - 5\sqrt {80}. K = 2 5 6 + 4 1 8 0 − 1 5 − 5 8 0 .
Les réponses sont données à la section 4.3.
4 - Solutions des exercices
4.1 - Solutions de l’exercice 1
B = 98 = 49 × 2 = 49 × 2 = 7 2 B = \sqrt{98} =\sqrt{49} \times 2 = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = \boxed{7\sqrt{2}} B = 9 8 = 4 9 × 2 = 4 9 × 2 = 7 2
C = 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 C =\sqrt{50} =\sqrt{25} \times \sqrt{2} =\sqrt{25} \times \sqrt{2} = \boxed{5\sqrt{2}} C = 5 0 = 2 5 × 2 = 2 5 × 2 = 5 2
D = 108 = 36 × 3 = 36 × 3 = 6 3 D = \sqrt{108} =\sqrt{36} \times\sqrt{3} =\sqrt{36}\times \sqrt{3} = \boxed{6\sqrt{3}} D = 1 0 8 = 3 6 × 3 = 3 6 × 3 = 6 3
4.2 Solutions de l’exercice 2
F = 6 5 − 5 3 + 4 5 − 3 − 2 5 + 10 3 F = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 4\sqrt{5} -\sqrt{3}-2\sqrt{5} + 10\sqrt{3} F = 6 5 − 5 3 + 4 5 − 3 − 2 5 + 1 0 3 = ( − 5 − 1 + 10 ) 3 + ( 6 + 4 − 2 ) 5 = (-5 - 1 + 10)\sqrt{3} + (6 + 4 - 2)\sqrt{5} = ( − 5 − 1 + 1 0 ) 3 + ( 6 + 4 − 2 ) 5 = 4 3 + 8 5 = \boxed{4\sqrt{3} + 8\sqrt{5}} = 4 3 + 8 5
G = 3 , 5 6 − 3 10 + 1 , 2 6 + 10 − 2 , 7 6 G = 3{,}5\sqrt{6} - 3\sqrt{10} + 1{,}2 \sqrt{6} + \sqrt{10} - 2{,}7\sqrt{6} G = 3 , 5 6 − 3 1 0 + 1 , 2 6 + 1 0 − 2 , 7 6 = ( 3 , 5 + 1 , 2 − 2 , 7 ) 6 + ( − 3 + 1 ) 10 = (3{,}5 + 1{,}2 - 2{,}7)\sqrt{6} + (-3 + 1)\sqrt{10} = ( 3 , 5 + 1 , 2 − 2 , 7 ) 6 + ( − 3 + 1 ) 1 0 = 2 6 − 2 10 = \boxed{2\sqrt{6} - 2\sqrt{10}} = 2 6 − 2 1 0
4.3 Solutions de l’exercice 3
I = 700 + 2 75 − 3 28 + 48 I =\sqrt{700} + 2\sqrt{75} - 3\sqrt{28} + \sqrt{48} I = 7 0 0 + 2 7 5 − 3 2 8 + 4 8 = 100 × 7 + 2 × 25 × 3 − 3 × 4 × 7 + 16 × 3 =\sqrt{100} \times \sqrt{7} + 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{3} - 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{7} + \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 1 0 0 × 7 + 2 × 2 5 × 3 − 3 × 4 × 7 + 1 6 × 3 = 10 7 + 10 3 − 6 7 + 4 3 = 10\sqrt{7} + 10\sqrt{3} - 6\sqrt{7} + 4\sqrt{3} = 1 0 7 + 1 0 3 − 6 7 + 4 3 = ( 10 + 4 ) 3 + ( 10 − 6 ) 7 = (10 + 4)\sqrt{3} + (10 - 6)\sqrt{7} = ( 1 0 + 4 ) 3 + ( 1 0 − 6 ) 7 = 14 3 + 4 7 =\boxed{14\sqrt{3} + 4\sqrt{7}} = 1 4 3 + 4 7
J = 3 15 − 162 + 8 − 125 + 3 20 J =\sqrt{3}\sqrt{15} - \sqrt{162} + \sqrt{8} -\sqrt{125} + 3\sqrt{20} J = 3 1 5 − 1 6 2 + 8 − 1 2 5 + 3 2 0 = 3 × 3 × 5 − 81 × 2 + × 4 × 2 − 25 × 5 + 3 × 4 × s q r t 5 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{81} \times \sqrt{2} +\times 4 \times \sqrt{2} - \sqrt{25} \times \sqrt{5} + 3 \times \sqrt{4} \times sqrt{5} = 3 × 3 × 5 − 8 1 × 2 + × 4 × 2 − 2 5 × 5 + 3 × 4 × s q r t 5 = 3 × 5 − 9 2 + 2 2 − 5 5 + 6 5 = 3\times{5} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 3 × 5 − 9 2 + 2 2 − 5 5 + 6 5 = ( − 9 + 2 ) 2 + ( 3 − 5 + 6 ) 5 = − 7 2 + 4 5 = (-9 + 2)\sqrt{2} + (3 -5 + 6)\sqrt{5} = \boxed{-7\sqrt{2} + 4\sqrt{5}} = ( − 9 + 2 ) 2 + ( 3 − 5 + 6 ) 5 = − 7 2 + 4 5
K = 256 + 4 180 − 15 − 5 80 K = \sqrt{256} + 4\sqrt{180} - 15 - 5\sqrt{80} K = 2 5 6 + 4 1 8 0 − 1 5 − 5 8 0 162 + 4 × 36 × 5 − 15 − 5 × 16 × 5 \sqrt{162} + 4\times \sqrt{36} \times \sqrt{5} - 15 - 5 \times \sqrt{16} \times \sqrt{5} 1 6 2 + 4 × 3 6 × 5 − 1 5 − 5 × 1 6 × 5 16 + 24 5 − 15 − 20 5 16 + 24\sqrt{5} - 15 - 20\sqrt{5} 1 6 + 2 4 5 − 1 5 − 2 0 5 1 + ( 24 − 20 ) 5 = 1 + 4 5 1 + (24 - 20)\sqrt{5} = \boxed{1 + 4\sqrt{5}} 1 + ( 2 4 − 2 0 ) 5 = 1 + 4 5
5 - Exercices supplémentaires
Exercice 4
Écrire les nombres suivants sous la forme a b a\sqrt{b} a b a a a b b b b b b
L = 26 × 78 L =\sqrt{26} \times \sqrt{78} L = 2 6 × 7 8 M = 14 × 35 M = \sqrt{14} \times \sqrt{35} M = 1 4 × 3 5 N = 27 × 72 N = \sqrt{27} \times \sqrt{72} N = 2 7 × 7 2 O = 24 × 30 O =\sqrt{24} \times \sqrt{30} O = 2 4 × 3 0
Exercice 5
Écrire les nombres suivants sous la forme a b a\sqrt{b} a b a a a b b b
P = 3 5 − 2 125 + 6 45 P = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{125} + 6\sqrt{45} P = 3 5 − 2 1 2 5 + 6 4 5 Q = 20 + 3 180 − 2 80 Q =\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 2\sqrt{80} Q = 2 0 + 3 1 8 0 − 2 8 0 R = 3 96 + 150 − 2 6 R = 3\sqrt{96} +\sqrt{150} - 2\sqrt{6} R = 3 9 6 + 1 5 0 − 2 6
Exercice 6
Donner l’écriture la plus simple des nombres suivants.
S = 12 − 147 27 S =\dfrac{\sqrt{12}- \sqrt{147}}{\sqrt{27}} S = 2 7 1 2 − 1 4 7 T = 50 98 + 3 2 T =\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{98} + 3\sqrt{2}} T = 9 8 + 3 2 5 0
Exercice 7
Simplifier l’écriture du nombre suivant
= 31 + 21 + 13 + 7 + 3 + 1 = \sqrt{31 + \sqrt{21+{\sqrt{13 +{\sqrt{7 +\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}} = 3 1 + 2 1 + 1 3 + 7 + 3 + 1
Par Zauctore
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