Trigonométrie en 3ème

I. Définitions

1. Hypothénuse et côté adjacent.

2. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Exemple :

On a les égalités suivantes :

• $\cos(\widehat{BCA})=\frac{AC}{BC}$
• $\sin(\widehat{BCA})=\frac{AB}{BC}$
• $\tan(\widehat{BCA})=\frac{AB}{AC}$

II. Applications

Nous allons maintenant utiliser les formules de trigonométrie que nous venons d'introduire dans des exercices classiques de calcul de longueurs et de mesures d'angles au sein de triangles rectangles.

1. Calcul de longueurs.

Calculons dans chaque cas la mesure du segment rouge (arrondi au millimètre)

Exemple 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :

Calculer la longueur de l'hypoténuse $[AC]$ :
$\sin(\widehat{BAC})=\frac{BC}{AC}$
d’où $\sin(24)=\frac{2,6}{AC}$
donc $\frac{\sin(24)}{1}=\frac{2,6}{AC}$
En appliquant l'égalité des produits en croix valable pour une égalité de fraction, on obtient :
$AC\times \sin(24)=2,6\times 1$
On obtient enfin $AC$
$AC=\frac{2{,}6\times 1}{\sin(24)}=6{,}4$
La longueur $AC$ est alors $6,4$ cm.

$\tan⁡(\widehat{EDF})=\frac{EF}{DF}$
d’où $\tan(52)=\dfrac{EF}{3,7}$
donc $\frac{\tan⁡(52)}{1}=\frac{EF}{3,7}$
En appliquant l'égalité des produits en croix valable pour une égalité de fraction, on obtient :
$EF=\frac{\tan(52°)\times 3{,}7}{1}$
La longueur $EF$ est alors $4{,}7$ cm.

2. Calcul de la mesure d'un angle.

On a :
$\sin(\widehat{CDN})=\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{5{,}2}{8}=0{,}65$
$\sin⁡(\widehat{CDN})=\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{5{,}2}{8}=0{,}65$
En utilisant la calculatrice et la fonction $arcsin()$, on obtient :
$\widehat{CDN} = \arcsin(0,65)\simeq 41°$

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