Le calcul littéral en 3ème

Les propriétés de calcul littéral servent entre autre à démontrer certains résultats. Il est très utile dans de nombreuses notions vues au lycée : il est donc indispensable d'en maîtriser les propriétés.

I. Identités remarquables.

Définition :
Soient aa et bb deux nombres relatifs. On définit les identités suivantes :

  • (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
  • (ab)2=a2+b22ab(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
  • (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Remarque :

Ces identités portent le nom d’identités remarquables. Elles servent, entre autre, à gagner du temps dans certains développements particuliers.

Exemple :

  • (x+9)2=x2+92+2×x×9=x2+81+18x(x+9)^2=x^2+9^2+2\times x\times 9=x^2+81+18x
  • (3y5)2=(3y)2+522×(3y)×5=9y2+2530y(3y-5)^2=(3y)^2+5^2-2\times (3y)\times 5=9y^2+25-30y
  • (78z)(7+8z)=72(8z)2=4964z2(7-8z)(7+8z)=7^2-(8z)^2=49-64z^2

II. Équation du premier degré à une inconnue.

Voir cours équations 4ème

Les équations du premier degré à une inconnue sont de la forme : ax+b=cx+dax+b=cx+daa, bb, cc et dd sont donnés.
Résoudre une équation à une inconnue (cette inconnue étant notée xx), c’est trouver toutes les valeurs de xx pour lesquelles l’égalité de départ est vraie.

Propriété :
Une équation du premier degré à une inconnue ax+b=cx+dax+b=cx+d (avec a̸=ca \not= c) admet une solution et une seule.

Exemple :

On souhaite résoudre l'équation 7x1=2x107x-1=2x-10

On soustrait 2x\textbf{2x} à chaque membre :
7x12x=2x102x    5x1=107x - 1 - \textbf{2x} = 2x - 10 - \textbf{2x} \implies 5x - 1 = 10
On additionne 1\textbf{1} à chaque membre :
5x1+1=10+1    5x=115x - 1 + \textbf{1} = 10 + \textbf{1} \implies 5x = 11
On divise enfin par 5\textbf{5} chaque membre :
5x÷5=11÷5    x=2,25x\div\textbf{5} = 11\div\textbf{5} \implies x=2,2

Remarque :

  • Il se peut très bien que des équations n'aient pas de solution. Par exemple, l'équation x=x+1x=x+1 n'admet aucune solution, car il n'existe aucun nombre qui rendent l'égalité vraie.
  • Il se peut aussi que certaines équations aient une infinité de solutions. Par exemple, l'équation 3(x+2)=3x+63(x+2)=3x+6 admet une infinité de solution, car tous les nombres relatifs rendent l'égalité vraie.

III. Inéquations du premier degré à une inconnue.

De manière analogue aux équations du premier degré à une inconnue, résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de xx pour lesquelles l’inégalité de départ est vraie.

Ainsi, dans l'inéquation 3x+743x+7\geqslant 4, le nombre 55 est solution de l'inéquation.

En effet, en remplaçant xx par 55 dans l'inéquation et en effectuant les calculs, on s'aperçoit que :
3×5+7=223\times 5+7 = 22 et 2222 est bien supérieur à 44.

La remarque qui nous vient très vite est : 55 est-elle la seule solution ?
On se doute assez vite que non (66 en est une par exemple).

Nous cherchons nous la totalité des solutions pour une inéquation donnée.
La recherche des solutions d'une inéquation repose sur la propriété suivante :

Propriété :

  1. On peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation
  2. On peut multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation en respectant la règle suivante :
    • Si le nombre est strictement positif, on conserve le sens de l'inégalité,
    • Si le nombre est stictement négatif, on change le sens de l'inégalité.

Exemple :
On souhaite résoudre l'inéquation 4x+2>92x-4x+2 > 9-2x

Nous allons procéder de manière analogue aux équations. On soustrait 2\textbf{2} à chaque membre, sans changer le sens de l'inégalité

4x+22>92x2    4x>72x-4x+2-\textbf{2} > 9-2x-\textbf{2} \implies -4x > 7-2x

On additionne 2x\textbf{2x} à chaque membre, sans changer le sens de l'inégalité.

4x+2x>72x+2x    2x>7-4x+\textbf{2x} > 7-2x+\textbf{2x} \implies -2x > 7

Pour finir, on divise par 2-2 chaque membre.
Attention : ici, 2-2 est négatif, on doit donc changer le sens de l'inégalité comme l'indique la propriété précédente.

2x-2<7-2    x<3,5\frac{-2x}{\textbf{-2}} < \frac{7}{\textbf{-2}} \implies x < -3,5

Conclusion
Les solutions de l'inéquation 4x+2>92x-4x+2 > 9-2x sont les nombres xx inférieurs à 3,5-3,5.
En faisant les calculs, on voit qu'en choisissant le nombre 5-5, qui est bien inférieur à 3,5-3,5, on obtient une inégalité vraie. (22>19(22>19)

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