Fonctions linéaires et Proportionnalité

Avant de lire ce cours sur les fonctions linéaires, il est plus judicieux de maîtriser le cours sur les fonctions, accessible en cliquant sur ce lien : Les fonctions

I. Fonctions linéaires

Exemple :

• $f : x\longmapsto 3x$ est la fonction linéaire de coefficient 3 : $f(x)=3x$.
• $f : x\longmapsto -\frac{1}{2}x$ est la fonction linéaire de coefficient $-\frac{1}{2}$ : $f(x)=-\frac{1}{2}x$

On peut alors associer à une situation de proportionnalité un fonction linéaire.

Exemple :

• Le périmètre d’un carré peut être défini par une fonction linéaire de coefficient 4.
  En formule, on obtient $P(x)=4x$
• Si un kilogramme de fraises coute 5,4 €, le prix étant proportionnel à la quantité choisie, on peut donc associer une fonction linéaire à cette situation. Sa formule sera de la forme $f(x)=5,4x$

II. Représentation graphique

Exemple :

• $f(x)=0,5x$
  Calculons l'image de $x$ par $f$ pour $x = 2$.
  $f(2)=0,5\times 2=1$
  On obtient 1 : on place le point de coordonnées $(2\ ;\ 1)$ et on le relie à l'origine pour tracer notre droite.
  On place le point $A$ de coordonnées $(2;1)$
• $g(x)=-2x$
  Calculons l'image de $x$ par $g$ pour $x = 1$.
  $g(1)=-2\times 1=-2$
  On obtient -2 : on place le point de coordonnées $(1\ ;\ -2)$ et on le relie à l'origine pour tracer notre droite.
  On place le point $B$ de coordonnées $(1;-2)$

Coefficent directeur

Le coefficient $a$ de la fonction linéaire $f:x\longmapsto ax$ donne des indications sur l’inclinaison de la droite : s'il est positif, la droite monte, s'il est négatif elle descend !
On l'appelle coefficient directeur de la droite.

III. Application aux calculs de pourcentage

Les fonctions linéaires peuvent être vues comme une interprétation mathématique des situations de proportionnalité.
Les pourcentages étant des situations de proportionnalité, il est naturel de penser qu'ils peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions linéaires.

Expression de l'augmentation :

$x\times\frac{20}{100}=0,2x$

On calcule alors le nouveau prix :

$x+0,2x=1,2x$

On obtient ainsi l'expression d'une fonction linéaire de coefficient 1,2.

Exemple :

1. Augmenter de 15 %, c'est multiplier par 1,15
2. Baisser de 7 %, c'est multiplier par 0,93.
3. Augmenter de 100 %, c'est multiplier par 2.
4. Baisser de 34 %, c'est multiplier par 0,66.

Ces raisonnements sont très utiles, ils permettent d'effectuer des calculs de pourcentages assez rapidement et ne demandent pas trop d'efforts, sauf de calcul mental bien entendu.

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