Factorisation et équation-produit

Objectif du cours

Pour la classe de 3ème.

Concernant la résolution d'équations après factorisation, voici une "fiche-méthode", contenant des exercices (niveau brevet) avec solutions.

1. Propriété de la multiplication

La multiplication possède cette propriété :

P×Q=0P \times Q = 0 équivaut à P=0P = 0 ou Q=0Q = 0.

C’est-à-dire qu’un produit de facteurs ne peut être nul que si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Cette propriété permet de résoudre les équations particulières où les deux conditions suivantes sont remplies :

  • l’un des membres est 00 ;
  • l’autre membre est sous forme factorisée.

2. Exemple

Ainsi, par exemple, l’équation du type produit-nul suivante :

2x(3x+1)(52x)=02x (3x + 1)(5 - 2x) = 0 (1)(1)

revient à :

2x=02x = 0 ou 3x+1=03x + 1 = 0 ou 52x=05 - 2x = 0

c’est-à-dire
x=0x = 0 ou x=13x = -\dfrac{1}{3} ou x=52x = \dfrac{5}{2}

Les solutions de l’équation (1)(1) sont les nombres 13-\dfrac{1}{3}, 00 et 52\dfrac{5}{2}.

3. Les méthodes de factorisation par facteur commun et/ou par identité remarquable

Les méthodes de factorisation par facteur commun et/ou par identité remarquable permettent de résoudre certaines équations de degré supérieur ou égal à 2.

Par exemple, l’équation

(x5)236(x+1)2=0(x - 5)^2 - 36(x + 1)^2 = 0 (2)(2)

peut être mise sous la forme d’un produit nul, puisque l’on a
(x5)236(x+1)2=(x5)2(6(x+1))2(x - 5)^2 - 36(x + 1)^2 = (x - 5)^2 - (6(x + 1))^2

=((x5)6(x+1))((x5)+6(x+1))=((x - 5) - 6(x + 1))((x - 5) + 6(x + 1))

=(x56x6)(x5+6x+6)= (x - 5 - 6x - 6)(x - 5 + 6x + 6)

=(5x11)(7x+1)= (-5x - 11)(7x + 1).

Ainsi, l’équation (2)(2) équivaut à (5x11)(7x+1)=0(-5x - 11)(7x + 1) = 0, qui est du type produit-nul.

Ses solutions sont données par : 5x11=0-5x - 11 = 0 ou 7x+1=07x + 1 = 0
Les solutions de l’équation (2)(2) sont donc 17-\dfrac{1}{7} et 115-\dfrac{11}{5}.

Énoncés de quelques exercices d'application, d'après des sujets du brevet 2005

Voici quelques exercices d’application, d’après des sujets du Brevet 2005.

Question 1.

Soit E=4x29+(2x+3)(x2)E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 2).

  1. Factoriser 4x294x^2 - 9. En déduire la factorisation de l’expression EE.

  2. Résoudre l’équation E=0E = 0.

Question 2.

Soit F=(2x3)2(4x+7)(2x3)F = (2x - 3)^2 - (4x + 7)(2x - 3).

  1. Factoriser l’expression FF.

  2. Résoudre l’équation F=0F = 0.

Question 3.

Soit G=(3x+5)(2x+7)(3x+5)2G = (3x + 5)(2x + 7) - (3x + 5)^2.

  1. Factoriser GG.

  2. Résoudre l’équation G=0G = 0.

Question 4.

Soit H=(x3)225H = (x - 3)^2 - 25.

  1. Factoriser l’expression HH.

  2. Résoudre l’équation H=0H = 0.

Question 5.

Soit I=x292(x3)I = x^2 - 9 - 2(x - 3).

  1. Factoriser x29x^2 - 9. En déduire la factorisation de II.

  2. Résoudre l’équation I=0I = 0.

Réponses partielles

Question 1

Les solutions sont 32-\dfrac{3}{2} et 53\dfrac{5}{3}.

Question 2

Les solutions sont 32\dfrac{3}{2} et 5-5.

Question 3

Les solutions sont 22 et 53\dfrac{-5}{3}.

Question 4

Les solutions sont 2-2 et 88.

Question 5

Les solutions sont 1-1 et 33.


Par Zauctore

Toutes nos vidéos sur factorisation et équation produit


Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum