Calcul de l'aire ou surface d'un triangle rectangle

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Dans cette fiche-méthode, vous trouverez une courte introduction sur les propriétés du triangle rectangle, la formule générale pour calculer l'aire d'un triangle quelconque, la formule particulière du calcul de la surface d'un triangle rectangle et d'un triangle rectangle isocèle et des exercices.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement l'aire (également appelée surface) d'un triangle rectangle ?

Propriétés du triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit.

Un triangle rectangle est caractérisé par :

  • 3 sommets et 3 côtés comme un triangle classique
  • 1 angle droit
  • 1 des côtés non adjacent à cet angle droit appelé hypothénuse
  • 1 hauteur issue de l'angle droit du triangle notée hh

Le triangle ABCABC ci-dessous est rectangle en AA :
triangle_rectangle_en_A

Formule générale pour calculer l'aire d'un triangle quelconque

La formule généralement utilisée pour calculer l'aire (également appelée surface) d'un triangle quelconque :

Atriangle=b×h2\boxed{A_{triangle}= \dfrac{b \times h}{2}}

avec :

  • AA l'aire en cm2cm^2
  • bb la base du triangle en cm
  • hh la hauteur du triangle en cm

Formule particulière calcul de l'aire d'un triangle rectangle

En multipliant les deux longueurs des côtés adjacents à l'angle droit

Cette formule s'applique au triangle rectangle en multipliant la longueur des deux côtés du triangle qui ne sont pas l'hypothénuse, ici ABAB et ACAC.

Pour calcul le triangle rectangle ABCABC rectangle en AA, on applique donc la formule :

Atrianglerectangle=AC×AB2\boxed{A_{trianglerectangle}= \dfrac{AC \times AB}{2}}
avec :

  • AA en cm2cm^2
  • ACAC en cm
  • ABAB en cm

Pour un triangle ABCABC rectangle en A, avec AB=3cmAB=3cm, AC=4cmAC=4cm et BC=5cmBC=5cm, le calcul de l'aire de ABC donne :

AABC=AC×AB2=4×32=122=6cm2{A_{ABC}= \dfrac{AC \times AB}{2}}=\dfrac{ 4 \times 3}{2}= \dfrac{12}{2}=\boxed{6cm^2}

Cas particulier du triangle rectangle isocèle :

image

Dans le cas du triangle isocèle, AB=ACAB=AC, la formule utilisée pour calculer l'aire du triangle rectangle isocèle sera alors la suivante :

Atrianglerectangleisocele=AC×AB2=AB22=AC22\boxed{A_{trianglerectangleisocele}= \dfrac{AC \times AB}{2}= \dfrac{AB^2}{2}= \dfrac{AC^2}{2}}
avec :

  • AA en cm2cm^2
  • ACAC en cm
  • ABAB en cm

NB : sur l'illustration, on remarque que l'aire du triangle rectangle isocèle correspond à la moitié de la surface du carré (ou aire du carré).

Explication : lien entre aire du rectangle et surface du triangle rectangle

triangle_rectangle_aire

On voit bien sur l'illustration ci-dessus que l'aire du triangle rectangle (en bleu) représente la moitié de l'aire du rectangle aux mêmes dimensions (même longueur LL et même largeur ll).

Or, on sait que pour calculer la surface d'un rectangle, en cm2cm^2, la formule à appliquer est la suivante :

Arectangle=l×LA_{rectangle}= l \times L
avec :

  • ll la largeur du rectangle en cm2cm^2
  • LL la longueur du rectangle en cm2cm^2

Puisque l'aire du triangle rectangle correspond à la moitié de la surface du rectangle aux mêmes dimensions, on en déduit la formule pour calculer la surface du triangle rectangle :

Atrianglerectangle=Arectangle2=l×L2=b×h2A_{trianglerectangle}= \dfrac{A_{rectangle}}{2} = \boxed{\dfrac{l \times L}{2} = \frac{b \times h}{2}}
avec :

  • ll la base du triangle en cm2cm^2 que l'on peut également noter bb
  • LL la hauteur du triangle en cm2cm^2 que l'on peut également noter hh

Avec la longueur de la hauteur du triangle rectangle et l'hypothénuse

S'il vous manque la longueur d'un des côtés adjacents à l'angle droit du triangle rectangle dont vous devez calculer l'aire, vous pouvez opter pour la formule générale de calcul de l'aire d'un triangle.

Dans le cas d'un triangle rectangle, la base bb correspond à l'hypothénuse et la hauteur hh est toujours issue de l'angle droit comme sur le schéma qui suit.

triangle_rectangle_hauteur_base

Ainsi, si vous avez la longueur de la base et de la hauteur de votre triangle rectangle, vous pouvez appliquer la formule suivante :

Atrianglerectangle=b×h2\boxed{A_{trianglerectangle}= \dfrac{b \times h}{2}}

avec :

  • AA l'aire en cm2cm^2
  • bb la base du triangle rectangle ou longueur de l'hypothénuse en cm
  • hh la hauteur du triangle, issue de l'angle droit du triangle rectangle, en cm

Comment calculer la hauteur, l'hypothénuse ou la longueur d'un côté du triangle ?

Super ces formules ! Mais il vous manque une information qui n'est pas donnée dans l'énoncé ? Généralement, l'exercice vous amènera à calculer l'hypothénuse, la longueur d'un côté ou la hauteur du triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore

Pour calculer la longueur d'un côté du triangle ou la longueur de l'hypothénuse, vous pourrez vous servir du triangle de Pythagore.

Rappel de énoncé du théorème de Pythagore pour le triangle ABCABC rectangle en AA:

BC2=AC2+BC2BC^2=AC^2+BC^2
avec :

  • BCBC l'hypothénuse du triangle en cmcm
  • ACAC et BCBC les côtés adjacents à l'angle droit A^\hat{A}

Le théorème des cathètes

Si vous souhaitez calculer la hauteur hh du triangle ABCABC rectangle en A^\hat{A}, la formule à appliquer est la suivante :

h=AB×ACBC\boxed{h = \dfrac{AB \times AC}{BC}}
avec :

  • BC la longueur de l'hypothénuse en cm
  • AB et AC la longueur des côtés adjacents à l'angle droit

Dans le cas de l'exemple précédent du triangle ABCABC rectangle en A, avec AB=3cmAB=3cm, AC=4cmAC=4cm et BC=5cmBC=5cm, la hauteur AHAH est calculée comme suit :

h=3×45=125=2,4cmh = \dfrac{3 \times 4}{5}= \dfrac{12}{5}=\boxed{2{,}4cm}

Si l'on applique la formule générale de calcul de l'aire avec la base et la hauteur du triangle, on trouve le même résultat que précédement.

AABC=b×h2=5×2,42=122=6cm2A_{ABC}= \dfrac{b \times h}{2}=\dfrac{5 \times 2{,}4}{2}=\dfrac{12}{2}=\boxed{6cm^2}

Calculateurs gratuits d'aire de triangle rectangle

Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul de l'aire d'un triangle rectangle ou surface du triangle rectangle.

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