Calculer le volume d'une sphère

Profitez de notre calculateur gratuit pour calculer le volume d'une sphère.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement le volume d'une sphère ?

Vous trouverez toutes les réponses à vos questions dans cette fiche-méthode.

  • Quelle est la différence entre sphère et boule ?
  • Comment calculer le volume d'une boule avec son rayon ou avec son diamètre ?
  • Comment calculer le volume d'une demi-boule ou demi-sphère ?
  • Comment calculer le volume d'une boule creuse ?
  • Comment calculer le volume d'une sphère tronquée ou d'une calotte sphérique?

Propriétés d'une sphère

En géométrie, une sphère correspond à une surface.
Tous les points de la sphère sont situés à une même distance du centre.
La distance entre le centre CC et les points constituant la sphère correspond au rayon rr de la sphère.

sphere_creuse

La sphère est généralement creuse, puisqu'elle correspond à une surface : elle n'a donc pas de volume à proprement parler. On calcule plutôt l'aire d'une sphère.

Mais alors à quoi se réfère t-on lorsque l'on se réfère au calcul du volume d'une sphère en mathématiques ? On parle en réalité du calcul du volume d'une boule, l'équivalent d'une sphère pleine.

Donc pour résumer, on calcule l'aire d'une sphère (surface) et le volume d'une boule (solide).

Différence entre sphère et boule

La première différence entre boule et sphère est que la sphère correspond à une surface fermée tandis que la boule correspond à un solide de révolution qui n'est autre que délimité par une sphère.

Si vous vous imaginez le solide résultant de la rotation d'un disque autour de n'importe lequel de ses diamètres : c'est ce à quoi correspond la boule.

Quels sont les points qui appartiennent à la boule ?

Les points de la sphère ne correspondent qu'à ceux qui sont situés à la même distance du centre, soit le rayon rr.

Quant aux points de la boule, puisque c'est un solide, ce sont tous ceux qui se trouvent à une distance inférieure ou égale à rr du centre.

Formule calcul du volume d'une sphère pleine ou boule

Il existe au moins 2 manières différentes de calculer le volume d'une sphère pleine ou boule : à l'aide du rayon rr ou du diamètre DD.

Il vous suffira d'appliquer la formule correspondant aux données de l'énoncé de votre exercice.

Avec le rayon r

Le volume d'une boule est donné par la formule de calcul suivante :

Vboule=4π3×r3\boxed{V_{boule}=\dfrac{4\pi}{3} \times r^3} ou Vboule=4πr33\boxed{V_{boule}=\dfrac{4\pi r^3} {3}}

avec :

  • VV = volume de la boule (ou sphère pleine)
  • rr = le rayon de la sphère en cm

Par exemple, si l'on veut calculer le volume d'une boule (ou sphère pleine) de rayon r=25cmr = 25cm, on a :

Vboule=43×π×r3=43×π×253=4×3,14×156253=1962503=65416,66cm3V_{boule}= \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3= \dfrac{4}{3} \times \pi \times 25^3= \dfrac{4 \times 3{,}14 \times 15625}{3} = \dfrac{196 250}{3} = \boxed{65416{,}66cm^3}

NB : pour la simplicité du calcul, π\pi a été arrondi à 3,14. Le résultat diffère si on utilise la valeur de π\pi dans son entièreté.

Avec le diamètre D

Si l'énoncé de l'exercice ne vous donne que le diamètre DD de la boule ou de la sphère, deux solutions s'offrent alors à vous.

  1. Diviser DD par 22 et obtenir ainsi le rayon rr puisque r=D2r = \frac{D}{2}. Vous n'aurez plus qu'à appliquer la formule Vboule=4π3×r3\boxed{V_{boule}=\dfrac{4\pi}{3} \times r^3}.

  2. Appliquer directement la formule avec DD

Pour calculer le volume d'une sphère pleine ou d'une boule avec son diamètre DD exprimé en cmcm, la formule à appliquer est la suivante :

Vboule=π6×D3=πD36\boxed{V_{boule}=\dfrac{\pi}{6} \times D^3= \dfrac {\pi D^3}{6}}.

avec :

  • VV = volume de la boule (ou sphère pleine)
  • DD = le diamètre de la sphère en cm

Ainsi, si l'on reprend le même exemple que précédemment. Calculez le volume VV en cm3cm^3 de la boule de diamètre 5050cm.
On a :
Vboule=π6×D3=π×D36=π×5036=3,14×12500006=3925006=65416,66cm3V_{boule}= \dfrac{\pi}{6} \times D^3= \dfrac{\pi \times D^3}{6} = \dfrac{\pi \times 50^3}{6} = \dfrac{3{,}14 \times 125 0000}{6} = \dfrac{392 500}{6} = \boxed{65416{,}66cm^3}

On retrouve bien le même résultat que dans l'exemple précédent.

Démonstration

Pour trouver la formule avec le diamètre, nous pouvons partir de la formule avec le rayon.
On sait que :

Vboule=4π3×r3\boxed{V_{boule}=\dfrac{4\pi}{3} \times r^3}.

avec :

  • VV = volume de la boule (ou sphère pleine)
  • rr = le rayon de la sphère en cm

et que r=D2\boxed{r =\dfrac{D}{2}}

Il nous suffit maintenant de remplacer rr par D2\dfrac{D}{2} dans la formule du volume correspondante.

Vboule=4π3×r3=4π3×(D2)3=4π3×D323=4π3×D38=4πD33×8=4πD324V_{boule}=\dfrac{4\pi}{3} \times r^3 = \dfrac{4\pi}{3} \times {\bigg(\dfrac{D}{2}\bigg)}^3 = \dfrac{4\pi}{3} \times \dfrac{D^3}{2^3} = \dfrac{4\pi}{3} \times \dfrac{D^3}{8} = \dfrac{4 \pi D^3}{3 \times 8} = \dfrac{4 \pi D^3}{24}

Maintenant il suffit de simplifier la fraction ainsi obtenue.
Vboule=4πD324=πD36V_{boule}=\dfrac{4 \pi D^3}{24}= \boxed{\dfrac{\pi D^3}{6}}

On a donc bien :

Vboule=4πr33=πD36\boxed{V_{boule}= \dfrac{4\pi r^3}{3}= \dfrac{\pi D^3}{6}}

avec :

  • rr = rayon de la sphère pleine ou de la boule (en cm)
  • DD = diamètre de la sphère pleine ou de la boule (en cm)
  • VV= volume de la boule en cm3cm^3

Formule calcul du volume d'une demi-sphère

Rien de plus facile que de calculer une demi-sphère, vous pouvez pour cela :

  • Calculer tout d'abord le volume d'une sphère pleine ou d'une boule puis le diviser par 2.
  • Calculer directement le volume de la demi-sphère à l'aide des formules suivantes.

demi_sphere_demi_boule

Avec le rayon r

Pour calculer le volume d'une demi-sphère avec le rayon rr en cm de cette dernière, la formule est :

Vdemisphere=2πr33\boxed{V_{demi-sphere}=\dfrac{2 \pi r^3}{3}}

avec:

  • VV= volume de la demi-sphère ou demi-boule
  • rr = rayon de la demi-sphère ou de la demi-boule en cm

Par exemple, si l'on souhaite calculer le volume de la demi-sphère de rayon 2525cm.
On applique la formule :
Vdemisphere=2πr33=2π2533=2π156253=2×3,14×156253=981253=32708,33cm3V_{demi-sphere}=\dfrac{2 \pi r^3}{3} = \dfrac{2 \pi {25}^3}{3} = \dfrac {2 \pi 15 625}{3} = \dfrac {2 \times 3{,}14 \times 15625}{3} = \dfrac{98 125}{3} = \boxed{32 708 {,}33 cm^3}

Si l'on multiplie ce résultat par 2, on trouve alors le volume de la boule calculé dans les exemples précédents.

Avec le diamètre D

Si l'énoncé vous fournit la longueur du diamètre DD en centimètres, alors vous pourrez appliquer la fomrule suivante :

Vdemisphere=πD312\boxed{V_{demi-sphere}= \dfrac{\pi D^3}{12}}

avec:

  • VV= volume de la demi-sphère ou demi-boule
  • DD = diamètre de la demi-boule ou demi-sphère en cm

Reprenons maintenant l'exemple avec le diamètre DD de 50cm50cm. Calculons le volume de la demi-sphère de diamètre DD.

Vdemisphere=πD312=3,14×50312=3,14×12500012=39250012=32708,33cm3V_{demi-sphere}= \dfrac{\pi D^3}{12} = \dfrac{ 3{,}14 \times 50^3}{12} = \dfrac{3{,}14 \times 125 000}{12} = \dfrac{392 500}{12} = \boxed{32 708{,}33 cm^3}

On trouve bien le même résultat que ci-dessus.

Démonstration

Pour trouver la formule de calcul de la demi-sphère à l'aide du rayon rr et du diamètre DD, il suffit de diviser par 2 les formules de base (puisqu'une demi-sphère est une moitié de sphère ou de boule, son volume correspond à la moitié de celui d'une boule ou sphère pleine normale).

Pour la formule à l'aide du rayon, on a donc :

Vdemisphere=4πr332V_{demi-sphere}=\dfrac{\frac{4\pi r^3}{3}}{2} soit 4πr33×12\dfrac{4\pi r^3}{3} \times \dfrac{1}{2}

Vdemisphere=4πr36V_{demi-sphere}= \dfrac{4 \pi r^3}{6}

Si l'on simplifie par 2, on obtient bien : Vdemisphere=2πr33V_{demi-sphere}= \dfrac{2\pi r^3}{3}.


Pour la formule avec le diamètre :
Vdemisphere=πD362V_{demi-sphere}=\dfrac{\frac{\pi D^3}{6}}{2} soit πD36×12\dfrac{\pi D^3}{6} \times \dfrac{1}{2}

Soit directement notre formule :

Vdemisphere=πD312V_{demi-sphere} = \dfrac{\pi D^3}{12}

Formule de calcul du volume d'une boule creuse

boule creuse

Une boule creuse correspond à deux boules que l'on va emboîter l'une dans l'autre.
Le volume d'une boule creuse correspond au volume représenté en "violet" sur l'illustration de la Boule creuse ci-dessus.

Pour trouver ce volume, il faut donc soustraire le volume de la Boule 2 à celui de la Boule 1.

Le volume d'une boule creuse est donné par la formule suivante :

Vspherecreuse=4π3×(r23r13)\boxed{V_{spherecreuse}=\dfrac{4\pi}{3} \times ({r_2}^3-{r_1}^3)}.

avec :

  • VV = volume de la boule creuse (ou sphère creuse)
  • r1r_1 = le plus petit rayon de la sphère creuse en cm
  • r2r_2 = le plus grand rayon de la sphère creuse en cm

Démonstration

Pour démontrer la formule ci-dessus, nous allons partir de la déduction précédente. Pour trouver le volume d'une boule creuse, il faut soustraire le volume de la Boule 2 à celui de la Boule 1.

D'où:
Vboulecreuse=VBoule2VBoule1=(4π3×r23)(4π3×r13)V_{boulecreuse} = V_{Boule2}-V_{Boule1} = \bigg( \dfrac{4\pi}{3} \times {r_2}^3 \bigg) - \bigg( \dfrac{4\pi}{3} \times{r_1}^3 \bigg)

Si l'on factorise par 4π3\dfrac{4\pi}{3} qui est commun aux deux membres, on obtient :

Vboulecreuse=4π3×(r23r13)\boxed{V_{boulecreuse} = \dfrac{4\pi}{3} \times ({r_2}^3-{r_1}^3)}

Formule calcul du volume d'une sphère tronquée ou calotte sphérique

sphere_tronquee_calotte_spherique_volume

Une sphère tronquée ou calotte sphérique correspond à l'intersection entre la sphère et deux plans parallèles soit une "portion de boule".

Pour calculer le volume de la sphère tronquée (en bleu sur l'illustration), la formule à appliquer est la suivante :

Vspheretronquee=πh23×(3rh)\boxed{V_{spheretronquee}= \dfrac{\pi h^2}{3} \times (3r -h)}

avec :

  • rr = rayon de la sphère en cm
  • hh = hauteur de la calotte sphérique en cm
  • VV = le volume en cm3cm^3

Outils gratuits de calcul du volume d'une sphère

Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul du volume d'une sphère.

Cependant, si vous n'avez pas envie de faire les calculs vous-même, ou que vous voulez vérifier les résultats de vos exercices, voici deux outils qui vous serviront à calculer automatiquement (et gratuitement) le volume d'une boule.

Il vous suffira pour cela de rentrer la valeur de son rayon rr

Outil de conversion en Litres du volume sphère

Si vous souhaitez convertir votre volume de cm3cm^3 en m3m^3 ou en litreslitres voici un outil de conversion automatique de volume.

Des exercices pour s'entraîner

Vous avez envie de vous entraîner aux différents calculs de volume de sphère ?

Calculer le volume VV en cm3cm^3 des solides suivants :

  • une boule de rayon 1010cm
  • une sphère de diamètre 15,415{,}4cm
  • une demi-sphère de rayon 13,213{,}2cm
  • une demi-boule de diamètre 6,86{,}8cm
  • une boule creuse avec r1=3r_1 = 3cm et r2=5r_2=5cm
  • une boule creuse avec $D_1 = 6=cm et D2=10D_2=10cm
  • une calotte sphérique de rayon 33cm et de hauteur 2,42{,}4cm
  • une sphère tronquée de rayon 4,74{,}7cm et de hauteur 8cm8cm

Exercices complémentaires

Nous vous proposons également plusieurs exercices sur les sujets suivants :

Outils supplémentaires


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