Trigonométrie en 3ème

I. Définitions

1. Hypothénuse et côté adjacent.

Dans le triangle ABCABC rectangle en CC ci-contre :

  • le côté [AB][AB] est le côté le plus long, c'est l'hypoténuse du triangle ABCABC ;
  • Le côté [AC][AC] est appelé côté adjacent à l'angle BAC^\widehat{BAC}

2. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle,

  • le cosinus d’un angle aigu est égal à longueur du co^teˊ adjacentlongueur de lhypoteˊnuse\frac{longueur\ du\ côté\ adjacent}{longueur\ de\ l'hypoténuse}
  • le sinus d’un angle aigu est égal à longueur du co^teˊ opposeˊlongueur de lhypoteˊnuse\frac{longueur\ du\ côté\ opposé}{longueur\ de\ l'hypoténuse}
  • la tangente d’un angle aigu est égale à longueur du co^teˊ opposeˊlongueur du co^teˊ adjacent\frac{longueur\ du\ côté\ opposé}{longueur\ du\ côté\ adjacent}

Exemple :

trigonométrie
On a les égalités suivantes :

  • cos(BCA^)=ACBC\cos(\widehat{BCA})=\frac{AC}{BC}
  • sin(BCA^)=ABBC\sin(\widehat{BCA})=\frac{AB}{BC}
  • tan(BCA^)=ABAC\tan(\widehat{BCA})=\frac{AB}{AC}

II. Applications

Nous allons maintenant utiliser les formules de trigonométrie que nous venons d'introduire dans des exercices classiques de calcul de longueurs et de mesures d'angles au sein de triangles rectangles.

1. Calcul de longueurs.

Calculons dans chaque cas la mesure du segment rouge (arrondi au millimètre)

Exemple 1

Dans le triangle ABCABC rectangle en BB :
trigonometrie

Calculer la longueur de l'hypoténuse [AC][AC] :
sin(BAC^)=BCAC\sin(\widehat{BAC})=\frac{BC}{AC}
d’où sin(24)=2,6AC\sin(24)=\frac{2,6}{AC}
donc sin(24)1=2,6AC\frac{\sin(24)}{1}=\frac{2,6}{AC}
En appliquant l'égalité des produits en croix valable pour une égalité de fraction, on obtient :
AC×sin(24)=2,6×1AC\times \sin(24)=2,6\times 1
On obtient enfin ACAC
AC=2,6×1sin(24)=6,4AC=\frac{2{,}6\times 1}{\sin(24)}=6{,}4
La longueur ACAC est alors 6,46,4 cm.

Exemple 2
Dans le triangle EFDEFD rectangle en FF :

Calculer la longueur du côté opposé [EF][EF]

tan(EDF^)=EFDF\tan⁡(\widehat{EDF})=\frac{EF}{DF}
d’où tan(52)=EF3,7\tan(52)=\dfrac{EF}{3,7}
donc tan(52)1=EF3,7\frac{\tan⁡(52)}{1}=\frac{EF}{3,7}
En appliquant l'égalité des produits en croix valable pour une égalité de fraction, on obtient :
EF=tan(52°)×3,71EF=\frac{\tan(52°)\times 3{,}7}{1}
La longueur EFEF est alors 4,74{,}7 cm.

2. Calcul de la mesure d'un angle.

Exemple 1
Dans le triangle CDNCDN rectangle en NN :

Calculer la mesure de l’angle CDN^\widehat{CDN}, arrondie au degré.

On a :
sin(CDN^)=CNCD=5,28=0,65\sin(\widehat{CDN})=\frac{CN}{CD}=\frac{5{,}2}{8}=0{,}65
sin(CDN^)=CNCD=5,28=0,65\sin⁡(\widehat{CDN})=\frac{CN}{CD}=\frac{5,2}{8}=0,65
En utilisant la calculatrice et la fonction arcsin()arcsin(), on obtient :
CDN^=arcsin(0,65)41°\widehat{CDN} = \arcsin(0,65)\simeq 41°


Rajouter des liens vers d'autres cours : égalité des produits en croix (fractions 4ème) et utilisation de la calculatrice (compléments 4ème)

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