Angles et cercles en Troisième

Pour la classe de Troisième : les théorèmes sur les angles dans le cercle.

Plan de cours

  • Théorème de l'angle au centre

  • Théorème des angles inscrits

  • Propriété du quadrilatère inscrit

  • Propriété de la tangente.

Cours

Théorème 1.

Soient AA, BB, CC trois points d’un cercle de centre OO. Si les angles AOB^\widehat{AOB} et ACB^\widehat{ACB} interceptent le même arc, alors on a :

AOB^=2×ACB^\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}

image

Tab. 1 – Le théorème de l’angle au centre : x^=2×y^\widehat{x} = 2 \times \widehat{y}.

Preuve du théorème.

[Se reporter aux figures Tab. 2]

La première partie de la preuve concerne le cas de figure où le centre OO est contenu dans l’angle ACB^\widehat{ACB}. Soit CC' le point diamétralement opposé à CC sur le cercle.

Alors le triangle ACCACC' est rectangle en AA. Alors AOC^\widehat{AOC'} est le supplément de AOC^\widehat{AOC}, c’est-à-dire AOC^=180AOC^\widehat{AOC'} = 180 - \widehat{AOC}.

De plus, dans le triangle AOCAOC isocèle en OO, on a :

AOC^=180ACO^CAO^=1802×ACO^\widehat{AOC} = 180 - \widehat{ACO} - \widehat{CAO} = 180 - 2 \times \widehat{ACO}.

On en déduit donc que :

AOC^=180AOC^=180(1802×ACO^)=2×ACO^\widehat{AOC'} = 180 - \widehat{AOC} = 180 - (180 - 2 \times \widehat{ACO}) = 2 \times \widehat{ACO}.

Ceci montre le théorème de l’angle au centre dans le cas particulier où l’un des côtés est un diamètre du cercle.

Le triangle CBCCBC' étant rectangle en BB, on a donc aussi :

COB^=2×CCB^\widehat{C'OB} = 2 \times \widehat{C'CB}.

image

Puisque les angles AOC^\widehat{AOC'} et COB^\widehat{C'OB} sont adjacents, tout comme les angles ACC^\widehat{ACC'} et CCB^\widehat{C'CB}, on en déduit que :

AOB^=AOC^+COB^=2ACC^+2CCB^=2ACB^\widehat{AOB} = \widehat{AOC'} + \widehat{C'OB} = 2 \widehat{ACC'} + 2 \widehat{C'CB} = 2 \widehat{ACB}.

Le deuxième cas de figure est celui où le centre est hors de l’angle ACB^\widehat{ACB}. Avec le diamètre [CC][CC'], on a successivement :

COA^=2×CCA^\widehat{C'OA} = 2 \times \widehat{C'CA} et COB^=2×CCB^\widehat{C'OB} = 2 \times \widehat{C'CB},

AOB^=COB^COA^=2×(CCB^CCA^)=2×ACB^\widehat{AOB} = \widehat{C'OB} - \widehat{C'OA} = 2 \times (\widehat {C'CB} - \widehat{C'CA}) = 2 \times \widehat{ACB}.

Corollaire 1.

Dans un cercle, un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Les angles inscrits interceptant le même arc sont donc tous égaux.

image

Démonstration.

D’après le théorème de l’angle au centre, puisque les angles inscrits ASB^\widehat{ASB} et ATB^\widehat{ATB} interceptent le même arc que l’angle au centre AOB^\widehat{AOB}, on a :

2×ASB^=AOB^=2×ATB^2 \times \widehat{ASB} = \widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ATB}.

Vocabulaire

  • Un quadrilatère est convexe lorsqu’il contient ses diagonales.

  • Un quadrilatère est dit inscrit dans un cercle lorsque ses quatre sommets sont situés sur le même cercle.

  • Des angles sont supplémentaires lorsque leur somme vaut 180˚.

Corollaire 2.

Si un quadrilatère convexe est inscrit dans un cercle, alors ses angles opposés sont supplémentaires.

image

Preuve rapide.

Le théorème de l’angle au centre et l’angle plein autour du point OO donnent :

2×ASB^+2×ATB^=3602 \times \widehat{ASB} + 2 \times \widehat{ATB} = 360°,

d’où ASB^+ATB^=180\widehat{ASB} + \widehat{ATB} = 180˚.

Corollaire 3.

Le théorème de l’angle au centre reste valable lorsque l’un des côtés de
l’angle inscrit devient tangent au cercle.

image

Preuve rapide.

Avec le diamètre [BB][BB'], les angles BBT^\widehat{B'BT} et BAB^\widehat{B'AB} sont droits.

On voit donc que les angles ABT^\widehat{ABT} et ABB^\widehat{AB'B} ont le même complémentaire BBA^\widehat{BB'A} ; ils sont donc égaux :

ABT^=ABB^=ASB^\widehat{ABT} = \widehat{AB'B} = \widehat{ASB}.


Par Zauctore


Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum


Progressez plus vite en maths

Boostez votre moyenne en mathématiques et découvrez les outils de soutien scolaire que nous avons sélectionné pour vous : cours particulier, chatbot, soutien scolaire... vous trouverez le service qui vous correspond !

Boostez votre moyenne