Réduction et racines carrées

1 - Rappels

La racine carrée d’un nombre a0a \geqslant 0 est le nombre positif que l’on désigne par le symbole a\sqrt{a}, tel que
(a)2=a(\sqrt{a})^2=a.

Le symbole a\sqrt{a} est appelé radical, on dit aussi que a est le radicande.

La propriété fondamentale suivante est vérifiée pour tous aa et bb positifs :

a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt {a} \times \sqrt{b}.

Une conséquence de cette formule est le fait que, pour aa et bb positifs :

a2×b=ab\sqrt {a^2 \times b} = a \sqrt{b}.

2 - Réduction du radicande

Lorsque le nombre figurant sous la racine carrée contient un facteur carré, on peut effectuer la simplification suivante :

A=490=49×10=49×10=7×10A = \sqrt{490} = \sqrt{49 \times 10} = \sqrt{49} \times \sqrt{10} = \boxed{7\times \sqrt{10}}

C’est l’extraction des facteurs carrés du radicande.
On essaie en priorité de décomposer les radicandes à l’aide des facteurs carrés usuels, comme 22=42^2 = 4, 32=93^2 = 9, 42=164^2 = 16, 52=255^2 = 25, 62=366^2 = 36, 72=497^2 = 49, 82=648^2 = 64, 92=819^2 = 81, 102=10010^2 = 100, etc. qui sont à bien connaître (liste non-exhaustive).

Exercice 1

Simplifier ainsi les radicandes suivants :

  • B=98B = \sqrt{98}
  • C=50C = \sqrt{50}
  • D=108D = \sqrt{108}

Les réponses sont données à la section 4.1.

3- Réduire des sommes de radicaux

Lorsque les radicandes ne peuvent pas être simplifiés, on procède ainsi

E=32+4572+525E = 3\sqrt{2}+ 4\sqrt{5}-7\sqrt{2} +\sqrt{5}-2\sqrt{5}
=(37)2+(4+12)5= (3-7)\sqrt{2} + (4+1-2)\sqrt{5}
=42+35\boxed{=-4\sqrt{2}+ 3\sqrt{5}}

Exercice 2

Réduire de la même manière les expressions suivantes :

  • F=6553+45325+103F = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - \sqrt{3} -2\sqrt{5} + 10 \sqrt{3}

  • G=3,56310+1,26+102,76G = 3{,}5\sqrt{6}-3\sqrt{10}+ 1{,}2 \sqrt{6} +\sqrt {10}-2{,}7\sqrt{6}

Les réponses sont données à la section 4.2.

Lorsque les radicandes peuvent être simplifiés, on commence par extraire les facteurs carrés, puis on effectue la réduction comme ci-dessus.

  • H=128527+450H = \sqrt{12} -\sqrt{8} - 5\sqrt{27} + 4\sqrt{50}
    =4×34×259×3+425×2= \sqrt{4} \times \sqrt{3} -\sqrt{4} \times \sqrt{2} - 5\sqrt{9} \times \sqrt{3} + 4\sqrt{25} \times \sqrt{2}
    =23225×3×3+4×5×2= 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-5 \times 3 \times \sqrt{3} + 4 \times 5 \times \sqrt{2}
    =(215)3+(2+20)2= (2 - 15)\sqrt{3} + (-2 + 20)\sqrt{2}
    =133+182=\boxed{ -13\sqrt{3} + 18\sqrt{2}}

Exercice 3

Simplifier comme ci-dessus les expressions suivantes.

  • I=700+275328+48I = \sqrt{700} + 2\sqrt{75} - 3\sqrt{28} +\sqrt{48}
  • J=315162+8125+320J = \sqrt{3}15 - \sqrt{162} + \sqrt{8} - \sqrt{125} + 3\sqrt{20}
  • K=256+418015580.K = \sqrt {256} + 4\sqrt{180} - 15 - 5\sqrt {80}.

Les réponses sont données à la section 4.3.

4 - Solutions des exercices

4.1 - Solutions de l’exercice 1

  • B=98=49×2=49×2=72B = \sqrt{98} =\sqrt{49} \times 2 = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = \boxed{7\sqrt{2}}
  • C=50=25×2=25×2=52C =\sqrt{50} =\sqrt{25} \times \sqrt{2} =\sqrt{25} \times \sqrt{2} = \boxed{5\sqrt{2}}
  • D=108=36×3=36×3=63D = \sqrt{108} =\sqrt{36} \times\sqrt{3} =\sqrt{36}\times \sqrt{3} = \boxed{6\sqrt{3}}

4.2 Solutions de l’exercice 2

  • F=6553+45325+103F = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 4\sqrt{5} -\sqrt{3}-2\sqrt{5} + 10\sqrt{3}
    =(51+10)3+(6+42)5= (-5 - 1 + 10)\sqrt{3} + (6 + 4 - 2)\sqrt{5}
    =43+85= \boxed{4\sqrt{3} + 8\sqrt{5}}
  • G=3,56310+1,26+102,76G = 3{,}5\sqrt{6} - 3\sqrt{10} + 1{,}2 \sqrt{6} + \sqrt{10} - 2{,}7\sqrt{6}
    =(3,5+1,22,7)6+(3+1)10= (3{,}5 + 1{,}2 - 2{,}7)\sqrt{6} + (-3 + 1)\sqrt{10}
    =26210= \boxed{2\sqrt{6} - 2\sqrt{10}}

4.3 Solutions de l’exercice 3

  • I=700+275328+48I =\sqrt{700} + 2\sqrt{75} - 3\sqrt{28} + \sqrt{48}
    =100×7+2×25×33×4×7+16×3=\sqrt{100} \times \sqrt{7} + 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{3} - 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{7} + \sqrt{16} \times \sqrt{3}
    =107+10367+43= 10\sqrt{7} + 10\sqrt{3} - 6\sqrt{7} + 4\sqrt{3}
    =(10+4)3+(106)7= (10 + 4)\sqrt{3} + (10 - 6)\sqrt{7}
    =143+47=\boxed{14\sqrt{3} + 4\sqrt{7}}
  • J=315162+8125+320J =\sqrt{3}\sqrt{15} - \sqrt{162} + \sqrt{8} -\sqrt{125} + 3\sqrt{20}
    =3×3×581×2+×4×225×5+3×4×sqrt5= \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{81} \times \sqrt{2} +\times 4 \times \sqrt{2} - \sqrt{25} \times \sqrt{5} + 3 \times \sqrt{4} \times sqrt{5}
    =3×592+2255+65= 3\times{5} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{5}
    =(9+2)2+(35+6)5=72+45= (-9 + 2)\sqrt{2} + (3 -5 + 6)\sqrt{5} = \boxed{-7\sqrt{2} + 4\sqrt{5}}
  • K=256+418015580K = \sqrt{256} + 4\sqrt{180} - 15 - 5\sqrt{80}
    =162+4×36×5155×16×5\sqrt{162} + 4\times \sqrt{36} \times \sqrt{5} - 15 - 5 \times \sqrt{16} \times \sqrt{5}
    = 16+2451520516 + 24\sqrt{5} - 15 - 20\sqrt{5}
    = 1+(2420)5=1+451 + (24 - 20)\sqrt{5} = \boxed{1 + 4\sqrt{5}}

5 - Exercices supplémentaires

Exercice 4

Écrire les nombres suivants sous la forme aba\sqrt{b}, aa et bb étant deux entiers, avec bb le plus petit possible.

  • L=26×78L =\sqrt{26} \times \sqrt{78}
  • M=14×35M = \sqrt{14} \times \sqrt{35}
  • N=27×72N = \sqrt{27} \times \sqrt{72}
  • O=24×30O =\sqrt{24} \times \sqrt{30}

Exercice 5

Écrire les nombres suivants sous la forme aba\sqrt{b}, avec aa, bb entiers.

  • P=352125+645P = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{125} + 6\sqrt{45}
  • Q=20+3180280Q =\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 2\sqrt{80}
  • R=396+15026R = 3\sqrt{96} +\sqrt{150} - 2\sqrt{6}

Exercice 6

Donner l’écriture la plus simple des nombres suivants.

  • S=1214727S =\dfrac{\sqrt{12}- \sqrt{147}}{\sqrt{27}}
  • T=5098+32T =\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{98} + 3\sqrt{2}}

Exercice 7

Simplifier l’écriture du nombre suivant

  • =31+21+13+7+3+1= \sqrt{31 + \sqrt{21+{\sqrt{13 +{\sqrt{7 +\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}}

Par Zauctore


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