Arithmétique : PGCD - Plus Grand Diviseur Commun

Un cours qui reprend l'essentiel du programme d'arithmétique de 3ème.

Les notions abordées dans ce cours sont :

• Définitions : nombres premiers, premiers entre eux

• Méthodes de détermination du PGCD par la méthode des soustractions successives et par l'algorithme d'Euclide

• Simplification de fractions.

1. Définitions :

(a) Nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à $1$ et qui a pour seul diviseur $1$ et lui même.

(b) PGCD de deux nombres entiers

Parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers $a$ et $b$, il y en a un qui est plus grand que tous les autres : c’est le Plus Grand Commun Diviseur à $a$ et $b$. On le note PGCD $(a ; b)$.

Il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Exemple : trouver le PGCD de $36$ et de $24$.

(c) Entiers premiers entres eux

On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à $1$.

Exemple 1 :

$12$ et $7$ sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun est $1$.

Exemple 2 :

$24$ et $36$ ne sont pas premiers entre eux cars ils ont des diviseurs communs, autres que $1$.

(d) Fractions irréductibles

Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux est irréductible.

2. Détermination de tous les diviseurs d’un nombre entier :

Exemple : Touver les diviseurs de 50.

3. Détermination du PGCD de deux nombres :

(a) Méthode de recherche par soustractions successives

Si a > b et k diviseur de a et de b alors k est diviseur de leur différence.

Démonstration :

• $k$ diviseur de $a$

• $k$ diviseur de $b$

• $a = k \times a'$ avec $a'$ entier

• $b = k \times b'$ avec $b'$ entier

Alors $a-b = ka'-kb'$
$= k \times (a'-b')$
$= k \times (entier)$
donc $k$ est diviseur de $a-b$.

PGCD$(a ; b)$=PGCD$(b; a-b)$
PGCD$(a ; a)=a$
PGCD$(a ; 1)=1$

Exemple : Calculer le PGCD de $26 187$ et $11 223$.

Méthode :

Pour trouver le PGCD de deux nombres $a$ et $b (a > b)$ par la méthode des soustractions successives, on remplace le plus grand des deux nombres par $(a-b)$ puis on réitère le procédé jusqu’à l’obtention de deux nombres égaux (soustraction dont le résultat est nul).

Le PGCD de $a$ et $b$ est ainsi égal à ces deux derniers nombres.

(b) Méthode de recherche par divisions successives

Exemple : trouver le PGCD de 819 et 663.

L’Algorithme d’Euclide:

Note : un algorithme est un énoncé dans un langage bien défini d’une suite d’opérations permettant de résoudre par calcul un problème.

4. Simplification d’une fraction :

Pour rendre irréductible une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Exemple : simplifier $\frac{35}{64}$ et $\frac{663}{819}$.

• Les nombres $35$ et $54$ étant premier entre eux, la fraction $3564$ est irréductible.

• Le PGCD de $819$ et $663$ est 39 donc $\dfrac{663}{819}=\dfrac{17 \times 639}{21 \times 639}= \dfrac{17}{21}$

Par miumiu

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