Fonctions linéaires et Proportionnalité
Avant de lire ce cours sur les fonctions linéaires, il est plus judicieux de maîtriser le cours sur les fonctions, accessible en cliquant sur ce lien : Les fonctions
I. Fonctions linéaires
Définition :
Une fonction est linéaire s’il existe un nombre fixe tel que soit définie par . La fonction peut alors être décrite par le processus « je multiplie par ».
Le nombre s’appelle le coefficient de la fonction .
Exemple :
- est la fonction linéaire de coefficient 3 : .
- est la fonction linéaire de coefficient :
On peut alors associer à une situation de proportionnalité un fonction linéaire.
Exemple :
- Le périmètre d’un carré peut être défini par une fonction linéaire de coefficient 4.
En formule, on obtient- Si un kilogramme de fraises coute 5,4 €, le prix étant proportionnel à la quantité choisie, on peut donc associer une fonction linéaire à cette situation. Sa formule sera de la forme
II. Représentation graphique
Propriété :
Dans un repère, une fonction est représentée par une droite passant par l’origine.
Les points appartenant à la droite représentant la fonction ont tous des coordonnées du type .
Exemple :
Calculons l'image de par pour .
On obtient 1 : on place le point de coordonnées et on le relie à l'origine pour tracer notre droite.
On place le point de coordonnées
Calculons l'image de par pour .
On obtient -2 : on place le point de coordonnées et on le relie à l'origine pour tracer notre droite.
On place le point de coordonnées
Coefficent directeur
Le coefficient de la fonction linéaire donne des indications sur l’inclinaison de la droite : s'il est positif, la droite monte, s'il est négatif elle descend !
On l'appelle coefficient directeur de la droite.
III. Application aux calculs de pourcentage
Les fonctions linéaires peuvent être vues comme une interprétation mathématique des situations de proportionnalité.
Les pourcentages étant des situations de proportionnalité, il est naturel de penser qu'ils peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions linéaires.
On applique à un produit coûtant euros une augmentation de
Expression de l'augmentation :
On calcule alors le nouveau prix :
On obtient ainsi l'expression d'une fonction linéaire de coefficient 1,2.
On peut raisonner de la même manière lorsqu'il s'agit d'une réduction.
De manière générale, on a la formule suivante :
- Si on augmente le prix de , on obtient un coefficient égal à ;
- Si on diminue le prix de , on obtient un coefficient égal à ;
Exemple :
- Augmenter de 15 %, c'est multiplier par 1,15
- Baisser de 7 %, c'est multiplier par 0,93.
- Augmenter de 100 %, c'est multiplier par 2.
- Baisser de 34 %, c'est multiplier par 0,66.
Ces raisonnements sont très utiles, ils permettent d'effectuer des calculs de pourcentages assez rapidement et ne demandent pas trop d'efforts, sauf de calcul mental bien entendu.
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