Factoriser une différence de deux carrés

L'objectif de ce cours sur la factorisation, est de connaître et savoir utiliser l'identité remarquable a2b2a^2 - b^2, qui est indispensable en classe de Troisième (et en classe de Seconde ...).

Voici donc une fiche montrant comment écrire les expressions du genre de :

25x2(x3)225x^2 - (x-3)^2

sous la forme d'un produit (ce qui s'appelle : factoriser).

Certaines expressions algébriques peuvent être factorisées sans pour autant présenter de facteur commun apparent : on peut le faire au moyen d’une formule (appelée identité remarquable).

Vocabulaire

  • Différence de deux carrés. C’est une expression de la forme a2b2a^2-b^2.
  • La somme de aa et bb est le résultat de a+ba + b ;
  • la différence de aa et bb est le résultat de aba-b ;
  • une expression est factorisée lorsqu’elle est écrite comme un produit, par ex. (2x+1)(43x)(2x + 1)(4-3x).

Formule

Pour toutes quantités aa et bb, on a l’identité :

a2b2=(ab)(a+b)\boxed {a^2-b^2=(a-b)(a+b)}

En effet, en développant on a bien :

(ab)(a+b)=a2+abba=0b2(a-b)(a+b)=a^2+\underbrace{ab-ba}_\textrm{=0}-b^2

Reformulation

On voit que a2b2a^2-b^2 est factorisé en (ab)×(a+b)(a-b)\times(a + b), c’est-à-dire :

La différence des carrés de deux nombres est égale au produit de la somme de ces nombres par leur différence.

Il est important de noter que dans la formule, la différence des carrés a2b2a^2-b^2 est prise dans le même ordre que la différence des nombres aba-b.

Exemples, applications

a. 4x225=(2x)252=(2x5)(2x+5)4x^2-25 = (2x)^2-5^2 = (2x-5)(2x + 5).

b. 16(x+3)2=42(x+3)2=[4(x+3)][4+(x+3)]=(1x)(x+7)16-(x + 3)^2 = 4^2-(x + 3)^2 = [4-(x + 3)][4 + (x + 3)] = (1-x)(x + 7).

c. 9(x+1)21=[3(x+1)]2129(x + 1)^2-1 = [3(x + 1)]^2- 1^2

=[3(x+1)1][3(x+1)+1]=(3x+2)×(3x+4)=[3(x + 1)-1][3(x + 1) + 1] = (3x+2)\times(3x + 4).

d. (4x5)2(2x3)2=[(4x5)(2x3)][(4x5)+(2x3)](4x-5)^2-(2x-3)^2 = [(4x-5)-(2x-3)][(4x-5) + (2x-3)]

=(2x2)(6x8)=4(x1)(3x4)= (2x-2)(6x-8)=4(x-1)(3x-4).

e. Résoudre certaines équations du deuxième degré est le principal intérêt d’une telle méthode de factorisation, puisqu’on peut ainsi leur appliquer la règle du produit-nul.

Par exemple, l’équation 4x225=04x^2-25 = 0 est équivalente à l’équation (2x5)(2x+5)=0(2x-5)(2x + 5) = 0 qui admet les deux solutions : 2,52{,}5 et −2,52{,}5.

f. (n+1)2n2=(n+1n)(n+1+n)=2n+1(n + 1)^2-n^2 = (n + 1-n)(n + 1 + n) = 2n + 1.
La différence entre les carrés de deux nombres entiers successifs est égale à la somme des deux nombres.

En effet, on voit d’après la factorisation précédente que
(n+1)2n2=n+(n+1)(n + 1)^2-n^2 = n + (n + 1).

Ceci présente un intérêt pour le calcul mental des carrés sans multiplication.

En effet, si l’on connaît 132=16913^2 = 169

Alors 142=132+13+14=169+27=19614^2 = 13^2 + 13 + 14 = 169 + 27 = 196.

Par Zauctore


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