Fonctions exponentielles et logarithme pour Terminale S

Voici un condensé de cours et un extrait du support d'exercices et d'annales de mathématiques corrigés, traitant de de la fonction exponentielle, logarithme népérien et logarithme décimal.

Ces documents ont été mis à disposition par Groupe Réussite durant notre stage intensif de préparation au bac S pour les élèves de Terminale S qui se destinent aux classes préparatoires (prépas HEC, prépas scientifiques maths sup et maths spé) ou à des filières sélectives (médecine, Sciences Po, etc).

Ces exercices difficiles ne constituent pas du hors-programme mais simplement des entraînements plus formateurs en vue de l'année de prépa.

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1.1 Fonction exponentielle

Définition et propriété : fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction ff, dérivable sur R\mathbb{R}, telle que :

f=ff'=f et f(0)=1f(0) =1

Propriété

La fonction exponentielle, notée expexp, vérifie :

\forall xx, yy \in R\mathbb{R}, exp(x+y)exp (x+y) = exp(x)×exp(y)exp(x) \times exp(y)

et il existe un unique réel noté ee (\approx 2,7182{,}718), tel que exp(e)=1exp(e) = 1

On démontre alors que la fonction exponentielle vérifie la notation suivante :

\forall xx \in R\mathbb{R}, exp(x)exp (x) = exe^x

Propriété : signe et variations

La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R} :

\forall xx \in R\mathbb{R}, ex>0e^x >0

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}. Donc pour tout réels xx et yy :

xx < yy \Longleftrightarrow ex<eye^x
x=yx = y \Longleftrightarrow ex=eye^x = e^y

Propriétés algébriques

Pour tous réels xx, yy et pour tout entier nn :

ex+y=ex×eye^{x+y} = e^x \times e^y
ex=1exe^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
exy=exeye^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}
ex2=exe^{\frac{x}{2}} =\sqrt{e^x}
(ex)n=enx(e^x)^n = e^{nx}

Limites

limx+ex\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x = ++\infty
limxex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x = 00
limx+exx\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x} = ++\infty
limxxex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} xe^x = 00

(On dit que la fonction exponentielle domine les fonctions polynomiales)

limh0eh1h\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^h-1}{h} = 11

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable (donc continue) sur R\mathbb{R}, et pour tout réel xx :

exp(x)=exp(x)=exexp'(x) = exp(x) =e^x

L'approximation affine au voisinage de 00 de la fonction exponentielle est h1+hh \longrightarrow 1 +h.

On écrira :

eh1+he^h \sim 1+h, pour hh proche de 00.

Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II, alors la fonction ene^n est dérivable sur II et, pour tout xx de II :

(eu)(x)=u(x)eu(x)(e^u)'(x) = u'(x)e^{u(x)}

Tableau de variations et courbe

Tableau de variations

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Courbe

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La tangente au point d'abscisse 00 a pour équation : y=x+1y=x+1.

La tangente au point d'abscisse 11 a pour équation : y=exy=ex (elle passe par l'origine).

Résolution d'équations

Equation : ex=ye^x=y

Pour tout réel yy strictement positif, l'équation ex=ye^x=y, d'inconnue xx, admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

Equation différentielle d'ordre 1 : f=kff'=kf, avec kRk \in \mathbb{R} (hors programme)

Soit kRk \in \mathbb{R}. Les fonctions ff dérivables sur \mathbb{R} qui vérifient : f=kff'=kf sont les fonctions xAekxx \rightarrow Ae^{kx}, avec ARA \in \mathbb{R}.

1.2 Fonctions logarithmes népérien et décimal

Définition

La fonction logarithme népérien, notée lnln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0;+[]0;+\infty[, et vérifie :

\forall xx ]0;+[\in ]0;+\infty[, \forall yy R\in \mathbb{R}, ln(x)ey=xln(x) \Longleftrightarrow e^y =x

Premières Propriétés

La fonction lnln a pour ensemble de définition ]0;+[]0;+\infty[ et vérifie :

  • \forall xx, yy >0> 0, ln(x×y)ln (x \times y) = ln(x)+ln(y)ln(x) + ln(y)

  • \forall xx R\in \mathbb{R}, ln(ex)=xln(e^x)=x

  • \forall x>0x> 0, eln(x)=xe^{ln(x)}=x

Signe

La fonction lnln est strictement négative sur ]0;1[]0;1[ puis strictement positive sur ]1;+[]1;+\infty[.

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Propriétés algébriques

Pour tous réels xx, yy dans ]0;+[]0;+\infty[, et tout entier nn :

ln(xy)=ln(x)+ln(y)ln(xy) = ln(x) +ln(y)

ln(1x)=ln(x)ln(\dfrac{1}{x}) = -ln(x)

ln(xy)=ln(x)ln(y)ln(\dfrac{x}{y})= ln(x) -ln(y)

ln(x)=12ln(x)ln (\sqrt{x})= \dfrac{1}{2} ln(x)

ln(xn)=nln(x)ln (x^n) = nln(x)

Limites

limx+ln(x)\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} ln(x) = ++\infty

limx0ln(x)\lim\limits_{x \rightarrow 0} ln(x) = -\infty

limx+ln(x)x\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{ln(x)}{x} = 00

limx0ln(1+h)h\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{ln(1+h)}{h} = 11

Dérivée et sens de variation

  • La fonction lnln est dérivable (donc continue) sur ]0;+[]0;+\infty[ et, pour tout réel xx strictement positif :

ln(x)=1xln'(x) = \dfrac{1}{x}

  • L'approximation affine au voisinage de 00 de la fonction hln(1+h)h \longrightarrow ln(1+h) est hhh \longrightarrow h. On écrira :

ln(1+h)hln(1+h) \sim h, pour hh proche de 00

  • La fonction lnln est strictement croissante sur ]0;+[]0;+\infty[, donc, pour tous réels xx et yy de ]0;+[]0;+\infty[ :

x<yln(x)<ln(y)x

x=yln(x)=ln(y)x=y \longleftrightarrow ln(x) = ln(y)

  • Si une fonction uu est positive et ne s'annule pas sur un intervalle II, alors ln(u)ln(u) est dérivable sur II et, pour tout xx de II :

(ln(u))(x)=u(x)u(x)(ln(u))'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}

Tableau de variations et courbe

Tableau de variations

La fonction lnln est strictement croissante sur ]0;+[]0;+\infty[.

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Courbe

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Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions expexp et lnln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy=x.

Définition (logarithme décimal)

On appelle la fonction logarithme décimal la fonction notée loglog, et définie sur ]0;+[]0;+\infty[ par :

log(x)=ln(x)ln(10log(x) = \dfrac{ln(x)}{ln(10}

Croissance comparée des fonctions exponentielle, puissances entières et logarithme :

Pour tout entier naturel nn :

  • limx+exxn\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = ++\infty

  • limxxnex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^ne^x = 00

(à l'infini, l'exponentielle de xx l'emporte sur toute puissance de xx)

  • limx+ln(x)xn\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{ln(x)}{x^n} = 00

(en ++\infty, les puissances de xx l'emportent sur le logarithme de xx).

2. Exercices et Annales

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3. Corrigés d'Exercices

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