Formule de la hauteur dans le triangle et Formule de Héron

Pour la 1ère S.

Voici une application de la formule d'Al-Kashi : on obtient une expression donnant la longueur d'une hauteur en fonction des côtés du triangle.

On en déduit la formule (dite de Héron) qui donne l'aire du triangle en fonction des côtés.

Note :
On suppose connue la loi des cosinus (formule d’Al-Kashî) :

Théorème 1 (Loi des cosinus).

Dans tout triangle ABC,

BC2=AB2+AC22×AB×AC×cosBAC^.\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}.}

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Cette relation permet de calculer la longueur d’une hauteur à partir de celles des côtés.

Théorème 2

Dans un triangle ABC, le segment hAh_A de hauteur issue de AA est donné en fonction de côtés aa, bb, cc par

hA=2ap(pa)(pb)(pc)\boxed{h_A = \dfrac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p -c)}}

pp désigne le demi-périmètre (a+b+c)/2(a + b + c)/2.

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Démonstration

Avec la loi des cosinus, on a :

a2+c22×a×c×cosB^=b2a^2 + c^2 - 2 \times a \times c \times \cos{\widehat{B}} = b^2.

Par projection de ABAB sur (BC)(BC), on a :

c×cosB^=BHc \times \cos{\widehat{B}} = BH.

D’où

a2+c22×a×BH=b2a^2 + c^2 - 2 \times a \times BH = b^2.

On a donc : BH=a2+c2b22aBH =\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}.

Dans le triangle ABH, le théorème de Pythagore donne donc
AH2=c2BH2=c2[a2+c2b22a]2AH^2 = c^2 - BH^2 = c^2 - \bigg[\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\bigg]^2= 4a2c2(a2+c2b2)24a2\dfrac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}.

Pour obtenir une expression plus « lisible », on fait apparaître une différence de deux carrés :

AH2=(2ac)2(a2+c2b2)24a2AH^2 = \dfrac{(2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2} ;

la factorisation par l’identité u2v2=(uv)(u+v)u^2 - v^2 = (u - v)(u + v) donne

AH2=(2ac+a2+c2b2)(2aca2c2+b2)4a2AH^2 =\dfrac{(2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2)}{4a^2}.

Avec les identités u2+v2±2uv=(u±v)2u^2 + v^2 \pm 2uv = (u \pm v)^2, on a

AH2=((a+c)2b2)(b2(ac)2)4a2AH^2 =\dfrac{((a + c)^2 -b^2)(b^2 - (a -c)^2)}{4a^2}

L’identité u2v2u^2 - v^2 donne encore

AH2=(a+cb)(a+c+b)(ba+c)(b+ac)4a2AH^2 = \dfrac{(a + c - b)(a + c + b)(b - a + c)(b + a - c) }{4a^2}.

En observant la symétrie des différents facteurs du numérateur, on écrit

AH2=(a+b+c2b)(a+b+c)(a+b+c2a)(a+b+c2c)4a2AH^2 = \dfrac{(a + b + c - 2b)(a + b + c)(a + b + c - 2a)(a + b + c - 2c)}{4a^2}

Avec le demi-périmètre

p=a+b+cp =a + b + c,

On a donc :

AH2=2(pb)×2p×2(pa)×2(pc)4a2=16(pb)p(pa)(pc)4a2AH^2 = {2(p - b) \times 2p \times 2(p - a) \times 2(p - c)}{4^a2} = 16(p - b)p(p - a)(p - c){4a^2}.

On en déduit finalement

AH=4(pb)p(pa)(pc)a2AH =\sqrt{\dfrac{4(p - b)p(p - a)(p - c)}{a^2}}
= 2(pb)p(pa)(pc)a\dfrac{2\sqrt{(p - b)p(p - a)(p - c)}}{a}.

Corollaire 1.

L’aire du triangle ABCABC est donnée par :

p(pa)(pb)(pc)\boxed{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Démonstration.

En effet, l’aire est donnée par :

S=a×hA2S =\dfrac{a \times h_A}{2}

=a×2ap(pa)(pb)(pc)2= \dfrac{a \times \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2}

=p(pa)(pb)(pc)=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Par Zauctore

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