Le second degré (1ère partie)

I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)

1. Définition et forme canonique

Définition n°1 :
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = ax² + bx + c$ , avec $a$ , $b$ et $c$ des réels donnés, $a$ non nul.

Remarque : Cette expression est aussi appelée trinôme.

Théorème n°1 :
Toute fonction polynôme du second degré, définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a$ , $b$ et $c$ réels, $a$ non nul) peut s'écrire sous la forme :
$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ , avec $\alpha$ et $\beta$ deux réels.
Cette expression est appelée forme canonique de $f(x)$ .

Exemple :
Soit le polynôme du second degré : $f(x) = 3x^2 - 6x + 4$ .
Vérifions que sa forme canonique est : $3(x - 1)^2 + 1$ .

On développe :
$3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)$
Donc $3(x - 1)^2 + 1$ est la forme canonique de $f(x)$ .

Remarque : On a : $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$

2. Variations et représentation graphique

Si $a > 0$	Si $a < 0$

Remarque : La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ .

II. La résolution des équations du second degré

Dans tout le paragraphe, on considère l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a$ , $b$ et $c$ des réels donnés et $a$ non nul.

1. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré

Définition n°2 :
On appelle discriminant du polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ et on note $\Delta$ (lire "delta") le nombre défini par :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Le discriminant va nous permettre de déterminer les solutions (si elles existent) de l'équation.

Théorème n°2 :
Soit $\Delta$ le discriminant du polynôme du second degré $ax$ ² + $bx$ + $c$ .

Si $\Delta > 0$ , alors l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions réelles :
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta = 0$ , alors l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet une unique solution réelle :
$x_0 = \frac{-b}{2a}$
Si $\Delta < 0$ , alors l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'admet pas de solution réelle.

Vocabulaire :
Les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont appelées les racines du polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ .

Exemples :
Résoudre les équations suivantes :

$2x^2 - x - 6 = 0$
$9x^2 - 6x + 1 = 0$
$x^2 + 3x + 10 = 0$

$2x^2 - x - 6 = 0$ , on a :

$\left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = -1 \\ c = -6 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49$

Comme $\Delta > 0$ , l'équation admet deux solutions :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{8}{4} = 2$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}$

$9x^2 - 6x + 1 = 0$ , on a :
$\left\{ \begin{array}{l} a = 9 \\ b = -6 \\ c = 1 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0$

Comme $\Delta = 0$ , l'équation admet une unique solution réelle :

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x^2 + 3x + 10 = 0$ , on a :
$\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 10 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = 9 - 40 = -31$

Comme $\Delta < 0$ , l'équation n'admet pas de solution réelle.

2. Interprétation graphique

Les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont, lorsqu'elles existent, les abscisses $x$ des points où la parabole $\mathcal P$ de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ coupe l'axe des abscisses.

	$a > 0$	$a < 0$
Cas où $\Delta > 0$ : $\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses en deux points distincts d'abscisses respectives $x_1$ et $x_2$ .
Cas où $\Delta = 0$ : $\mathcal P$ est tangente à l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$ .
Cas où $\Delta < 0$ : $\mathcal P$ ne coupe pas l'axe des abscisses.