Quelques propriétés de la bissectrice

Par Zauctore

Plan de cours

Voici quatre propriétés en rapport avec la bissectrice dans le triangle :

  • une question de proportionnalité
  • et trois formules pour en calculer la longueur à partir des côtés ou d'un angle.

Remarques

Les trois premières propriétés sont du niveau de 2de
La quatrième est du niveau 1re S.

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Cours

Théorème 1 (Troisième)

Dans le triangle ABCABC, la bissectrice de A^\widehat{\mathrm{A}} partage le segment opposé [BC][BC] proportionnellement aux côtés de A^\widehat{\mathrm{A}}. Précisément, on a IBIC=ABAC\dfrac{IB}{IC}= \dfrac{AB}{AC} ou encore xy=cb\dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{b}.

image

Démonstration.

La parallèle à (AI)(AI) en B coupe (AC) en D. Alors les angles ABD^\widehat{\mathrm{ABD}} d’une part alterne-interne à BAI^\widehat{\mathrm{BAI}}, et BDA^\widehat{\mathrm{BDA}} d’autre part correspondant à IAC^\widehat{\mathrm{IAC}}, sont égaux : ainsi le triangle ADCADC est isocèle en AA, donc AD=cAD = c.

Avec le théorème de Thalès (les segments correspondants sont proportionnels), on en déduit :

BIIC=DAAC\dfrac{BI}{IC} =\dfrac{DA}{AC}

c’est-à-dire

xy=cb\dfrac{x}{y}={c}{b}

Théorème 2 (Seconde)

Dans le triangle ABCABC, le produit des deux côtés ABAB et ACAC
s'exprime à l’aide des segments déterminés par le pied II de la bissectrice de A^\widehat{\mathrm{A}}:
AB×AC=IB×IC+AI2AB \times AC = IB \times IC + AI^2

ou encore bc=xy+βA2b c = x y + \beta_A^2

image

Démonstration.

Soit DD, le point d'intersection de (AI)(AI) et du cercle circonscrit à ABCABC. Les triangles AIBAIB et ACDACD sont semblables comme ayant deux angles correspondants égaux ;
les côtés correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire en particulier :

ABAD=AIAC\dfrac{AB}{AD} =\dfrac{AI}{AC}.

Le produit des côtés ABAB et ACAC devient donc :

AB×AC=AI×AD=AI×(AI+ID)AB \times AC = AI \times AD = AI \times (AI + ID)

=AI2+AI×ID= AI^2 + AI \times ID (1)(1)

Or, les triangles AIBAIB et CIDCID sont semblables ; donc on a :

AICI=BIDI\dfrac{AI}{CI} = \dfrac {BI}{DI}

d'où :

AI×ID=BI×ICAI \times ID = BI \times IC .

En remplaçant dans (1)(1), on obtient la formule annoncée :

AB×AC=AI2+AI×ID=AI2+BI×ICAB \times AC = AI^2 + AI \times ID = AI^2 + BI \times IC

Théorème 3 (Seconde)

Dans le triangle ABCABC, la longueur du segment de bissectrice de A^\widehat{\mathrm{A}} est donnée par :
βA\beta A = 2bcp(pa)b+c\dfrac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c}

En notant:
p=a+b+c2p = \dfrac{a + b + c}{2}

image

Démonstration.

D’après le théorème 2 précédent, on sait que :

(2)(2) βA2\beta_A^2 = bcxybc - xy

Or le théorème 1 peut se traduire par le tableau de proportionnalité suivant :

xx yy x+y=ax+y=a
cc bb b+cb+c

On en déduit :

x=acb+cx= \dfrac{ac}{b+c} et y=abb+cy=\dfrac{ab}{b+c}

En reportant ces valeurs dans (2)(2), on a :

βA2\beta_A^2 = bcxybc - xy

=bcacb+c×abb+c= bc - \dfrac{ac}{b+c} \times \dfrac{ab}{b+c}

=bc(b+c)2((b+c)2a2)=\dfrac{bc}{(b+c)^2} ((b+c)^2-a^2)

Par factorisation, on en déduit :
=bc(b+c)2(b+ca)(b+c+a)=\dfrac{bc}{(b+c)^2}(b+c-a)(b+c+a)

Or avec p=a+b+c2p = \dfrac{a+b+c}{2}, on a :

(b+ca)(b+c+a)=2(pa)2p(b+c-a)(b+c+a)= 2(p-a)2p

d'où finalement :

βA2\beta_A^2 =4bc(b+c)2p(pa)\dfrac{4bc}{(b+c)^2}p(p-a)

Théorème 4 (Première)

La longueur du segment de bissectrice de A^\widehat{\mathrm{A}} est donnée par :
βA\beta_A =2bccosA^2b+c=\dfrac{2bc\cos{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}}{b+c}

image

Démonstration.

L’aire de ABCABC peut s’exprimer de deux façons. D'une part, on a :
S=12bcsinA^S=\dfrac{1}{2} bc\sin{\widehat{\mathrm{A}}}

D'autre part avec Aire(ABC)=Aire(ABI)+Aire(AIC)Aire(ABC) = Aire(ABI) + Aire(AIC), on a aussi :

S=12cS=\dfrac{1}{2}cβA\beta_AsinA^2\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}+12bβA+\dfrac{1}{2}b\beta_AsinA^2\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}

On en déduit donc :

βA(b+c)sinA^2=bcsinA^\beta_A(b+c)\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}} = bc\sin{\widehat{\mathrm{A}}}

La formule de duplication du sinus donne :

βA(b+c)sinA^2=2bcsinA^2cosA^2\beta_A(b+c)\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}} = 2bc\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}\cos{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}

On a donc finalement :

βA=2bcb+c×cosA^2\beta_A = \dfrac{2bc}{b+c} \times \cos{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}


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