Théorèmes de l'angle droit et du demi-cercle en Quatrième

Pour la classe de Quatrième, une courte leçon montrant le lien entre les triangles rectangles et les demi-cercles : propriétés directe et réciproque pour une caractérisation des angles droits.

Théorème 1

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est situé au milieu de l’hypoténuse.

Démonstration

Le triangle ABCABC est en fait un demi-rectangle ABA′C, de centre OO.

On sait que les diagonales d’un rectangle sont égales et ont le même milieu, ici OO ; on en déduit donc que OA=OB=OCOA = OB = OC, ce qui démontre que le cercle de centre OO passant par AA passe aussi par BB et par CC.

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Corollaire 1

Le cercle ayant l’hypoténuse pour diamètre passe par le sommet de l’angle droit.

Corollaire 2

Le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.

Théorème 2

Lorsqu’on relie un point d’un cercle aux extrémités d’un de ses diamètres, on forme un angle droit.

Démonstration

En plaçant le point AA' diamétralement opposé à AA sur le cercle, on forme un quadrilatère ABACABA'C dont les diagonales [AA][AA'] et [BC][BC]

  • ont le même milieu OO

  • sont égales ;

C’est donc un rectangle.

Ceci montre que l’angle BAC^\widehat{BAC} est droit.

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Corollaire 3

Le triangle formé par un diamètre et un point du cercle est rectangle en celui-ci.


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