La proportionnalité en 4ème

La notion de proportionnalité en 4ème est à lier à la notion de tableau : pour bien comprendre la proportionnalité, il faut faire des tableaux.

I. Définitions et outils

1. Coefficient de proportionnalité

On présente souvent les situations de proportionnalité à l’aide d’un tableau ;

2. Tableau de proportionnalité

Exemple
Imaginons que je télécharge plusieurs fichiers sur mon ordinateur et que je note à chaque fois le temps pris pour obtenir chaque fichier et sa taille.
Imaginons également (ce qui est un peu plus fantaisiste) que ma vitesse de téléchargement est constante !
Avec ces données on peut remplir le tableau suivant :

On observe, si on est un peu perspicace, que l'on peut passer des valeurs d'une série aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par le même nombre !
En effet :

• $5 \times 22 = 110$
• $11 \times 22 = 242$
• $7 \times 22 = 154$

Ce qui s'écrit également ainsi :

$\frac{110}{5} = \frac{242}{11} = \frac{154}{7} = 22$

Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité (il décrit une situation ou les deux séries de nombres sont proportionnelles l'une à l'autre, ici : la durée du téléchargement est proportionnelle à la taille du fichier).
Le rapport de chaque membres d'une colonne dans un tableau de proportionnalité donne toujours le même résultat : c'est le coefficient de proportionnalité qui est ici égal à $22$.

3. Quatrième proportionnelle.

Résolution
Nous savons par intuition et par expérience que le prix à payer est proportionnel au nombre d'articles.

Nombre de baguettes achetées	$5$	$3$
Prix payé (en €)	$4,25$	$x=\ ?$

Ce tableau de proportionnalité nous donne l'égalité suivante :

$\frac{5}{4,25} = \frac{3}{x}$

On peut alors appliquer la propriété appelée "égalité des produits en croix" :
$5 \times x = 3 \times 4,25$

Ce qui nous donne la valeur de $x$ en faisant :

$x = \frac{3\times 4,25}{5} = 2,55$

Conclusion
Louis paiera $2,55€$ pour les trois baguettes.

4. Représentation graphique

Résolution

1. Oui, car les points sont alignés avec l’origine du repère.
2. Non, car même si les points alignés, ils ne le sont pas avec l’origine du repère.
3. Non, car les points ne sont pas alignés.

II. Applications.

1. Appliquer un pourcentage

Résolution
Pour répondre à la question, on peut utiliser le tableau de proportionnalité suivant :

Nombre de votants pour le candidat A	$x$	$40$
Nombre total de votant du bureau	$450$	$100$

En appliquant la propriété nommée "égalité des produits en croix" comme nous l'avons fait dans l'exemple du deuxième paragraphe, on obtient

$x \times 100 = 450 \times 40 \implies x = \frac{450\times 40}{100} = 180$

Conclusion
Le candidat A a reçu 180 voix dans ce bureau de votes.

Ici, nous avons appliqué un pourcentage : nous avons calculé 40% de 450.

2. Calculer un pourcentage

Résolution
Pour répondre à la question, on peut utiliser le tableau de proportionnalité suivant :

Nombre de garçons dans la classe	$15$	$x$
Nombre total d'élèves dans la classe	$24$	$100$

En appliquant la propriété nommée "égalité des produits en croix" comme nous l'avons fait dans l'exemple du deuxième paragraphe, on obtient

$24 \times x = 15 \times 100 \implies x = \frac{15\times 100}{24} = 62,5$

Conclusion
Les garçons représentent 62,5% des élèves de la classe.

Ici, nous avons exprimé un pourcentage : on a calculé ce que représentait 15 garçons sur 24 élèves au total, exprimés en pourcentage.

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