Le théorème de Pythagore.

Ce cours concerne un théorème classique. C'est un résultat important des mathématiques du collège.
Important d'une part car c'est un des premiers (voire le premier) théorème que l'on voit dans l'apprentissage des mathématiques. Il sert entre autre à fixer les bases du raisonnement logique que l'on travaille au collège.
Important historiquement car c'est un des premiers théorèmes que l'on a découvert : la postérité en est attribuée à Pythagore, mais on trouve des traces dans d'autres civilications que les grecs, même parfois plus anciennes (chinoises notamment).
Important du point de vue théorique enfin car il existe de nombreuses preuves de ce résultat. C'est assez rare en mathématiques qu'un théorème ait plusieurs preuves.
Il est donc naturel de s'y intéresser.

I. Une caractéristique des triangles rectangles.

1. Egalité de Pythagore

Faisons tout de suite une figure pour visualiser nos trois côtés $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.

2. Théorème de Pythagore (et sa réciproque)

Venons-en au fameux théorème de Pythagore.

Exemple :
Le triangle $ZIM$ est rectangle en $Z$, l'égalité de Pythagore est donc vraie :

$ZI^2+ZM^2=MI^2$

3. Démonstration

Faisons la démonstration de ce théorème grace à la méthode des aires. Elle permettra d'avoir une compréhension très visuelle de ce résultat.

Partons d'un triangle rectangle et procédons d'abord à une modification de la figure : construisons des carrés à l'aide des trois côtés du triangle.

Procédons ensuite au découpage suivante des carrés de côté $[AC]$ et $[AB]$.

L'idée de la preuve est de découper les différentes pièces de couleurs et de les assembler afin de recouvrir entièrement le dernier carré.
Voici la solution :

On vient donc de s'apercevoir que le carré de côté $[BC]$ était "l'assemblage" du carré de côté $[AC]$ et du carré de côté $[AB]$.
Tout ceci n'étant pas très rigoureux, nous allons apporter de la précision.
Nous venons de remarquer que l'aire du carré de côté $[BC]$ (le grand) est la somme de l'aire du carré de côté $[AC]$ (le petit) et de l'aire du côté $[AB]$ (le moyen).
L'aire d'un carré se trouve par la formule : côté$\times$côté.
Ainsi, nous pouvons écrire :

$Aire_{petit\ carré}=AC\times AC=AC^2$

$Aire_{moyen\ carré}=AB\times AB=AB^2$

$Aire_{grand\ carré}=BC\times BC=BC^2$

En conclusion, nous avons établi que

$Aire_{petit\ carré}+Aire_{moyen\ carré}=Aire_{grand\ carré}$

ou encore

$AC^2+AB^2=BC^2$

Ce qui termine la preuve.

Le théorème de Pythagore peut donc être vu comme un résultat concernant les aires des carrés construits à l'aide des côtés du triangle.

II. Applications.

Connaître un théorème comme le théorème de Pythagore est important, en connaître ses utilisations l'est encore plus.
Voyons dans les prochains paragraphes les utilisations possibles du théorème de Pythagore.

1. Calculer la longueur de l'hypoténuse.

Résolution
Nous pouvons appliquer l'égalité de Pythagore car FCM est un triangle rectangle en M :

$FC^2 = FM^2+MC^2 \implies FC^2 = 3^2+5^2 = 9+25 = 34$

Nous cherchons donc une longueur $FC$ qui, élevée au carré, soit égale à 34.
Grâce à la calculatrice et à sa touche racine carrée, nous trouvons :
$FC = \sqrt{34} \simeq 5,8cm$

Conclusion :
La mesure du segment $[FC]$ est d'environ $5,8 cm$.

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit.

Résolution
$USM$ étant un triangle rectangle, nous cherchons encore une fois à appliquer l'égalité de Pythagore :
Nous avons identifié $MS$ comme étant l'hypothénuse (le plus grand côté : opposé à l'angle droit)

$MS^2 = US^2+UM^2 \implies UM^2 = MS^2-US^2$

$UM^2 = 13^2-5^2 = 169-25 = 144$

Nous cherchons donc une longueur $UM$ qui, élevée au carré, soit égale à $144$.
Grâce encore une fois à la calculatrice, nous trouvons que la racine carrée de $144$ est $12$ (en effet $12\times 12=144$)

Conclusion :
La longueur du segment $[UM]$ est de $12cm$.

3. Reconnaître un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore va aussi nous servir à montrer qu'un triangle quelconque est rectangle, comme nous le voyons dans le dernier problème type suivant

Résolution
On identifie l'hypothénuse (le plus long côté) comme étant BC.

Essayons de vérifier l'égalité de Pythagore sur ce triangle en en calculant les deux parties :

• d'une part : $BC^2=7,5^2=56,25$
• d'autre part : $AB^2+AC^2=4,5^2+6^2=20,25+36=56,25$

On constate donc que l'égalité de Pythagore $BC^2=AB^2+AC^2$ est bien vérifiée !

Conclusion :
D'après la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ d'hypothénuse $BC$ est rectangle en $A$ !

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