Cours sur les puissances

A partir de la classe de 4e.

Voici un condensé de cours sur les puissances : règles de calcul et forme scientifique des nombres décimaux.

L’écriture des nombres sous forme de puissances se prête à des règles de calcul simples.

1. Définitions

Pour tout nombre aa on définit les puissances de aa par :
a2=a×aa^2 = a \times a (1)(1)
a3=a×a×aa^3 = a \times a \times a (2)(2)
etc ...

et de façon générale,

an=a×a×....×a\boxed{a^n = a \times a \times .... \times a} (3)(3)

Ici avec nn entier 3\geqslant 3.

Dans cette dernière ligne, le nombre aa figure nn fois.
Le symbole ana^n représente donc le résultat de la multiplication de aa par lui-même autant de fois qu’indiqué par nn. On dit que ana^n est la puissance n-ième de aa, et nn est appelé exposant de cette puissance.

Cette définition admet pour extensions les importants cas particuliers suivants :

a1=aa^1 = a et a0=1a^0 = 1 (4)(4)

On est conduit à poser (en cohérence avec les règles de calcul de la section suivante les définitions suivantes)

a1=1aa^{-1} =\dfrac{1}{a} (5)(5)

a2=1a2a^{-2} =\dfrac{1}{a^2} (6)(6)
etc...

et plus généralement

an=1an\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} (7)(7)

nn est ici un nombre entier positif. Le symbole ana^{-n} désigne l’inverse de la puissance ana^n, ce qui définit les puissances d’exposant négatif.

On a donc l’égalité :
an×an=1a^n \times a^{-n} = 1. (8)(8)

2. Règles de calcul

Pour tous entiers nn et pp, pour tous nombres aa et bb, on a les propriétés suivantes, qui permettent les calculs sous forme de puissance.

Propriété 1 - Produit de puissances

an×ap=an+p\boxed{a^n \times a^p = a^{n+p}} (9)(9)

Par exemple, on a :

73×75=73+(5)=727^3 \times 7^{-5} = 7^{3+(-5)} = 7^{-2}. (10)(10)

Il suffit d’ajouter les exposants en respectant les règles de la somme des nombres relatifs.

Propriété 2 - Puissance de puissances

(an)p=an×p\boxed{(a^n)^p= a^{n \times p}} (11)(11)

Par exemple, on a :

(54)3=54×3=512(5^{-4})^3 = 5^{-4 \times 3} = 5^{-12}. (12)(12)

Il suffit de multiplier les exposants en respectant les règles du produit des nombres relatifs.

Propriété 3 - Quotient de puissances

anap=anp\boxed{\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}} (13)(13)

Par exemple, on a :

1081015=108(15)=107\dfrac{10^{-8}}{10^{-15}} = 10^{-8-(-15)} = 10^7. (14)(14)

Il semble malgré tout préférable (dans un premier temps) de calculer ce genre ce quotient en utilisant les importantes égalités :

1an=an\dfrac{1}{a^n} = a^{-n} et 1an=an\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n

Et de cette façon on écrit plutôt :

1081015=108×11015=108×1015=107\dfrac{10^{-8}}{10^{-15}} = 10^{-8} \times \dfrac{1}{10^{-15}} = 10^{-8} \times 10^{15} = 10^7 (15)(15)

Ceci permet de n’utiliser que la règle du produit de puissances.

Propriété 4 - Produit de puissances de même exposant

an×bn=(a×b)n\boxed{a^n \times b^n = (a \times b)^n} (16)(16)

Par exemple, on a : 23×53=1032^3 \times 5^3 = 10^3. (17)(17)

3 - Cas particulier des puissances de 10

Lorsque a=10a = 10, on obtient par exemple les résultats suivants :

...... 10410^4 10310^3 10210^2 10110^1 10010^0 10110^{-1} 10210^{-2} 10310^{-3} ...
... 1000010 000 10001 000 100100 1010 11 0,10{,}1 0,010{,}01 0,0010{,}001 ...

et de façon générale, pour tout entier nn positif, on a :

10n10^n = 10...0n zéros\underbrace{10...0}_{\text{n zéros}} et 10n10^{-n} = 0,...0n zéros\underbrace{0{,}... 0}_{\text{n zéros}}. (18)(18)

L’utilité de ces égalités réside dans les changements d’écriture de certains nombres décimaux.

Par exemple, on a :
180500000=1805×100000=1805×105180 500 000 = 1 805 \times 100 000 = 1805 \times 10^5 (19)(19)

On peut aussi continuer en écrivant
1805=1,805×1000=1,805×1031805 = 1{,}805 \times 1 000 = 1{,}805 \times 10^3.

On en déduit finalement l’écriture scientifique du nombre initial :
180500000=1,805×103×105=1,805×108180500000 = 1{,} 805 \times 10^3 \times 10^5 = \boxed{1{,}805 \times 10^8} (20)(20)

Dans le cas de nombres positifs moindres que 11, on a par exemple :
0,000000732=7,32×0,0000001=7,32×1070{,}000000732 = 7{,}32 \times 0{,}0000001 = \boxed{7{,} 32 \times 10^{-7}} (21)(21)

De façon générale, un nombre décimal D>0D > 0 est écrit sous forme scientifique lorsqu’on a l’égalité :

D=d×10kD = d \times 10^k, avec 1d101 \leqslant d \leqslant 10 (22)(22)

kk est un entier relatif et dd est un nombre décimal.


Par Zauctore


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