Réprésenter graphiquement les termes d'une suite

Cette fiche permet de comprendre comment :

  • représenter graphiquement les premiers termes d'une suite définie par récurrence par une relation du type Un+1=f(Un)U_{n+1} = f(U_n)

  • se servir de cette représentation graphique pour conjecturer le comportement d'une telle suite quant à sa convergence

I. Méthode

Pour conjecturer le comportement d'une suite définie à l'aide d'une fonction ff par Un+1=f(Un)U_{n+1} = f(U_n), on trace dans un repère :

Cf\mathcal C_f la courbe représentative de ff (en bleu sur l'image)

La droite (d)(d) d'équation y=xy = x (en noir sur l'image).

représentation graphique d'une suite

On place, sur l'axe des abscisses, le point de coordonnées (U0;0)(U_0 ; 0) représentant le premier terme de la suite.

Pour trouver U1=f(U0)U_1 = f(U_0) il faut lire l'ordonnée du point A1A_1 de la courbe CfC_f.
Le point X1X_1 de la droite (d)(d) a donc pour coordonnées (U1;U1)(U_1 ; U_1).

Pour trouver U2=f(U1)U_2 = f(U_1) il faut lire l'ordonnée du point A2A_2 de la courbe CfC_f.

Et ainsi de suite ...... on trouve les autres termes de la suite.

Dans le cas présenté, on peut conjecturer que la suite (Un)(U_n) possède une limite réelle l qui est l'abscisse du point d'intersection de CfC_f et de (d)(d).

Pour trouver la valeur de ll, il faudra résoudre l'équation : f(l)=lf(l) = l

Au passage, on peut vérifier, sur cet exemple, qu'une suite construite à l'aide d'une fonction décroissante n'est pas forcément décroissante.

En effet, sur l'intervalle présenté, la fonction ff est décroissante et les nombres U0U_0 , U1U_1 , U2U_2, U3U_3, U4U_4 et U5U_5 ne sont pas rangés dans l'ordre inverse de leur rang.
Il faut regarder les emplacements sur l'axe des abscisses.


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