Produit scalaire et applications en 1ère S

I. Définition et propriétés.

1. Norme d'un vecteur.

Considérons un vecteur u\vec u du plan. On définit la norme du vecteur u\vec u comme la "longueur" du vecteur u\vec u. On la note u\|\vec u\|

En particulier : si u\vec u est un vecteur tel que u=AB\vec u=\overrightarrow{AB}

2. Cas de deux vecteurs colinéaires.

Définition :
Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurs colinéaires du plan. On appelle produit scalaire des vecteurs u\vec u et v\vec v le nombre réel noté uv\vec u\cdot\vec v défini par :

uv={u×v lorsque u et v sont de meˆme sensu×v lorsque u et v sont de sens diffeˊrent\vec u\cdot\vec v=\left\{ \begin{array}{ll}\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque }\vec u\textrm{ et }\vec v\textrm{ sont de même sens} \\ -\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque }\vec u\textrm{ et }\vec v\textrm{ sont de sens différent}\end{array} \right.

3. Cas de deux vecteurs quelconques.

Définition :
Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurs différent de 0\vec 0 du plan.
On pose, par définition :

uv=uv\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}

v\overrightarrow{v'} est le projeté orthogonal de v\vec v sur u\vec u.

Voici deux cas différents de projeté orthogonal :

produit-scalaire uv>0\vec u\cdot\vec v>0
produit-scalaire uv<0\vec u\cdot\vec v<0

Défintion :
uu\vec u\cdot\vec u s'appelle le carré scalaire de u\vec u. On a uu=u2\vec u\cdot\vec u=\|u\|^2

4. Cas de deux vecteurs orthogonaux.

  • D'une part : si uv\vec u\perp\vec v, alors le projeté orthogonal v\overrightarrow{v'} de v\vec v sur u\vec u est égal à 0\vec 0.
    Ainsi,

uv=u0=u×0=0\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec 0=\|\vec u\|\times\|\vec 0\|=0

  • D'autre part : si uv=0\vec u\cdot\vec v=0, alors uv=0\vec u\cdot\overrightarrow{v'}=0.
    Donc soit v=0=v\vec v=\vec 0=\overrightarrow{v'}, soit vu\vec v\perp\vec u

D'où la propriété suivante :

Propriété :

uvuv=0\vec u\perp\vec v \Longleftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0

5. Exemple.

Soit ABCDEFABCDEF un hexagone régulier de centre OO et de côté 33.
hexagone
Calculons quelques produits scalaires de vecteurs :

  1. ABAO=ABAI avec I milieu de [AB]=AB×AI car les deux vecteurs sont colineˊaires=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI} & \textrm{ avec } I\textrm{ milieu de } [AB] \\ & = & AB\times AI & \textrm{ car les deux vecteurs sont colinéaires} \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

  2. OBOD=OBOJ avec J milieu de [EO]=OB×OJ=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD} & = & \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OJ} & \textrm{ avec } J\textrm{ milieu de } [EO] \\ & = & -OB\times OJ \\ & = & -3\times 1{,}5 \\ & = & -4{,}5\\ \end{array}

  3. ABBC=ABBK avec BK=12AB=AB×BK=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BK} & \textrm{ avec } \overrightarrow{BK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ & = & AB\times BK \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

  4. CFCD=CFCL avec L milieu de [OC]=CF×CL=3×1,5=4,5\begin{array}{cccc}\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CD} & = & \overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{CL} & \textrm{ avec } L\textrm{ milieu de } [OC] \\ & = & CF\times CL \\ & = & 3\times 1{,}5 \\ & = & 4{,}5\\ \end{array}

6. Autre expression du produit scalaire.

Soit α\alpha une mesure de l'angle orienté (u ;v)(\vec u\ ;\vec v) (on choisira la mesure principale).
Par définition, uv=uv\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}.
On distinguera deux cas :
1er cas : l'angle α\alpha est aigu
triangle-rectangle
On pose AB=v\overrightarrow{AB}=\vec v et AH=v\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{v'}.
Les formules de trigonométrie nous indique alors que :

cosα=AHAB=vv\cos\alpha =\frac{AH}{AB}=\frac{\|\overrightarrow{v'}\|}{\|\vec v\|}

Ainsi, v=v.cosα\|\overrightarrow{v'}\|=\|\vec v\|.\cos\alpha
Et donc,

uv=uv=u×v×cosα\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\alpha

2ème cas : l'angle α\alpha est obtu
Si l'angle est obtu, il suffit de faire le raisonnement avec cos(πα)\cos(\pi-\alpha) et en remarquant que cos(πα)=cos(α)\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)
produit-scalaire

D'où le théorème suivant :

Propriété :
Pour u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls,

uv=u×v×cos(u;v^)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\widehat{\vec u;\vec v})

II. Propriétés du produit scalaire

1. Premières propriétés.

Propriété :

  1. Symétrie : uv=vu\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u
  2. Opérations : u(v+w)=uv+uw\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w et u(λv)=λuv\vec u\cdot (\lambda\vec v) = \lambda\vec u\cdot\vec v
  3. Produit scalaire et normes :

u+v2=u2+v2+2 uv\|\vec u+\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\ \vec u\cdot\vec v

uv2=u2+v22 uv\|\vec u-\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\ \vec u\cdot\vec v

(u+v)(uv)=u2v2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2

2. Produit scalaire dans un repère orthonormé.

On note (O;i;j)(O;\vec i;\vec j) un repère orthonormé du plan. Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurys du plan de coordonnées (x;y)(x;y) et (x;y)(x';y').
On a alors :

u=xi+yj et v=xi+yj\vec u=x\vec i+y\vec j\textrm{ et }\vec v=x'\vec i+y'\vec j

On calcule le produit scalaire de u\vec u par v\vec v :

uv=(xi+yj)(xi+yj)=\vec u\cdot\vec v=(x\vec i+y\vec j)\cdot(x'\vec i+y'\vec j)=

En développant, on trouve

uv=xx+yy\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'

D'où le théorème suivant :

Théorème :
Dans un repère orthonormé, si u(x;y)\vec u(x;y) et v(x;y)\vec v(x';y'), alors

uv=xx+yy\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'

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