Exemples de résolution d’équations du second degré

Des exemples d'application pratique des formules pour trouver les solutions d'une équation du second degré - sans démonstration ici !

Niveau débutant en Première.

1 - Formules

Pour résoudre une équation du second degré de la forme : ax2+bx+c=0a x^2 + bx + c = 0, (1)(1)
aa, bb et cc sont des paramètres numériques, une démarche systématique consiste à appliquer la méthode suivante.

On calcule d’abord le discriminant de l’équation ; c’est le nombre Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4 ac.

  • si Δ\Delta est strictement positif, alors on calcule une solution x=bΔ2ax' = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2 a} et on en déduit l’autre solution
    x"=b+Δ2ax" =\dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2 a}
  • si Δ\Delta est égal à 00, alors la seule solution est donnée par u=b2au = \dfrac{-b}{2a}
  • si Δ\Delta est strictement négatif, alors l’équation (1)(1) n’a pas de solution réelle, c’est-à-dire que ax2+bx+cax^2 + b x + c n’est jamais égal à 00.

Les justifications de ces formules se trouvent dans le cours ´ Equations du second degré.

2 - Exemples

Résoudre l’équation x22x2=0x^2 - 2 x - 2 = 0. (2)(2)

Alors, avec a=1a = 1, b=2b = -2 et c=2c = -2, on calcule le discriminant Δ=(2)24×(2)=8\Delta = (-2)^2 - 4 \times (-2) = 8.

Puisque Δ>0\Delta > 0, on calcule la première solution

x=282=2222x' = \dfrac{2 - \sqrt{8}}{2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{2}}{2}

c’est-à-dire en simplifiant
x=12\boxed{x' = 1 - \sqrt{2}}

On en déduit donc l’autre solution, conjuguée de la première :

x"=1+2\boxed{x" = 1 + \sqrt{2}}

Remarque : il ne faut pas refaire tous les calculs pour obtenir la deuxième solution, puisqu’il suffit de changer le signe devant la racine du discriminant ; en effet, la formule s’écrit x=(b±Δ)/(2a)x = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)

Résoudre l’équation 3x25x+2=03 x^2 - 5x + 2 = 0. (3)(3)

On calcule le discriminant, avec a=3a = 3, b=5b = -5 et c=8c = 8.

On a Δ=(5)24×3×2=1\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 1 et puisque Δ>0\Delta > 0, on calcule la première solution :

x=512×3=46x' = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2 \times 3} = \dfrac{4}{6}

c’est-à-dire en simplifiant :

x=23\boxed{x' = \dfrac{2}{3}}

et on en déduit la seconde solution :

x"=5+12×3=66x" = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2 \times 3} = \dfrac{6}{6}

x"=1\boxed{x" = 1}

Remarque : la valeur x=1x = 1 aurait pu facilement être "devinée" : c’est une racine évidente du polynôme 3x25x+13 x^2 - 5 x + 1.

Résoudre l’équation 9x2+12x+4=09 x^2 + 12 x + 4 = 0. (4)(4)

Le calcul du discriminant donne Δ=1224×9×4=0\Delta = 12^2 - 4 \times 9 \times 4 = 0.

Alors, l’équation n’a qu’une seule solution, donnée par :

u=122×9u = \dfrac{-12}{ 2 \times 9}

c’est-à-dire en simplifiant

u=23\boxed{u = -\dfrac{2}{3}}

Résoudre l’équation x22x+2=0x^2 - 2 x + 2 = 0. (5)(5)

Le discriminant est : Δ=(2)24×2=4\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 = -4.

Puisque Δ<0\Delta < 0, cette équation n’a aucune solution parmi les nombres réels.

Résoudre l’équation 5x210x+6=05 x^2 - 10x + 6 = 0. (6)(6)

Le calcul du discriminant donne Δ=(10)24×5×6=20\Delta = (-10)^2 - 4 \times 5 \times 6 = -20.

Puisque Δ\Delta est négatif, cette équation n’a aucune solution.

Extension :

Le cas de coefficients fractionnaires, ou contenant des radicaux, etc... n’a pas été envisagé ici dans un but de simplification.
Les formules restent malgré tout applicables dans le cas d’équations comme 34x253x+12=0\dfrac{3}{4} x^2 - \dfrac{5}{3} x + \dfrac{1}{2} = 0

ou bien même : x252πx+1,5=0x^2 \sqrt{5} - 2 \pi x + 1{,} 5 = 0.


Par Zauctore


Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum


Progressez plus vite en maths

Boostez votre moyenne en mathématiques et découvrez les outils de soutien scolaire que nous avons sélectionné pour vous : cours particulier, chatbot, soutien scolaire... vous trouverez le service qui vous correspond !

Boostez votre moyenne