Modélisation et échantillonnage

I. Répétition d'expériences.

1. Expériences aléatoires.

Lorsqu'on effectue la même expérience plusieurs fois successivement, dans les mêmes conditions, on dit que c'est une succession d'expériences identiques et indépendantes.

Exemple :

  1. Lancer 5 fois de suite un dé cubique bien équilibré.
  2. Lancer successivement 5 dés cubiques de contenus différents.

Définition :
On dit que deux expériences aléatoires sont indépendantes lorsque les résultats de l'une n'influent pas les probabilités des résultats de l'autre.

2. Arbres pondérés.

Principe multiplicatif :
On répète nn fois une expérience aléatoire dans les mêmes conditions initiales. Si AiA_i est un évènement de la ieˋmei^{\textrm{ème}} expérience (ii compris entre 1 et nn), alors on a :

P(A1A2An)=P(A1)×P(A2)××P(An)P(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n)=P(A_1)\times P(A_2)\times\ldots\times P(A_n)

Remarque :
Autrement dit, dans un arbre pondéré, la probabilité d'un résultat final est le produit des probabilités de >chaque branche qui y mène.

On schématise la répétition d'expériences à l'aide d'un arbre pondéré. On inscrit les probablités sur chaque branche.

Exemple n°1 :

Dans un jeu, un candidat doit choisir, pour chaque question, entre trois réponses différentes. Il répond totalement au hasard. Il gagne 100 € à chaque réponse correcte. Le présentateur lui pose trois questions.

  1. On schématise les possibilités à l'aide d'un arbre. On note V une réponse vraie, F une réponse fausse.
    arbre-pondere

Étant donné qu'il répond au hasard, les expériences sont indépendantes.
La probabilité que la réponse soit fausse (P(F)P(F)) vaut toujours 23\frac{2}{3}.
La probabilité que la réponse soit vraie (P(V)P(V)) vaut toujours 13\frac{1}{3}.

  1. Quelle est la probablité qu'il gagne 300 € ?
    Pour qu'il gagne 300 €, il doit répondre V aux trois questions :

P(V)=13×13×13=127P(V)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}

En répondant au hasard, il a donc 1 chance sur 27 de gagner 300 €.

  1. Quelle est la probabilité de gagner 200 € ?
    Pour qu'il gagne 200 €, il doit avoir une réponse F et deux réponses V, soit VVF, VFV ou FVV.
    Il y a trois façons de placer un faux parmi trois possibilités.
    D'après l'arbre de probabilité et le principe multiplicatif, on a

P(VVF)=13×13×23=227P(VVF)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{27}

Ainsi,

P("gagner 200")=3×227=627=29P(\textrm{"gagner 200"})=3\times\frac{2}{27}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}

Il a donc 2 chances sur 9 de gagner 200 €.

Exemple n°2 :

On effectue une enquête sur les destinations de vacances. Après cette enquête, on établit que, quelle que soit la personne interrogée, la probabilité qu'elle choisisse le bord de mer est égale à 0,60{,}6, la montagne est 0,30{,}3, sinon elle reste à son domicile.
On rencontre successivement deux personnes.

On construit l'arbre pondéré correspondant à cette situation. On note aussi M s'il choisit la mer, N s'il choisit la montagne et D s'il reste à son domicile.
arbre-pondere

On voit sur cet arbre qu'il y a 9 issues possibles. On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul : 3×3=93\times 3=9 possibilités.

Pour deux personnes rencontrées :

On s'intéresse à l'évènement suivant :

A="parmi deux personnes, une au moins est alleˊaˋ la mer"A=\textrm{"parmi deux personnes, une au moins est allée à la mer"}

Avec les notations prises précédemment, on a

A=(M et M) ou (M et N) ou (M et D) ou (N et M) ou (D et M)A=\textrm{(M et M) ou (M et N) ou (M et D) ou (N et M) ou (D et M)}

Ainsi, on peut calculer la probablité de AA :

P(A)=0,6×0,6+0,6×0,3+0,6×0,1+0,3×0,6+0,1×0,6=0,84P(A)=0{,}6\times 0{,}6 + 0{,}6\times 0{,}3 + 0{,}6\times 0{,}1+0{,}3\times 0{,}6+0{,}1\times 0{,}6=0{,}84

La probabilité que, parmi deux personnes, une au moins soit allée à la mer est de 0,84, soit 84 %.

Pour trois personnes rencontrées :

  • Les trois personnes ont été à la mer : 0,63=0,2160{,}6^3=0{,}216
  • Deux ont été à la mer : les évènements sont MMMMM\overline{M} ou MMMM\overline{M} M ou MMM\overline{M} MM. Donc la probabilité est de : 3×0,6×0,6×0,4=0,4323\times 0{,}6\times 0{,}6\times 0{,}4=0{,}432
  • Un seul a été à la mer : les évènements sont MM MM\overline{M}\ \overline{M} ou MMM\overline{M} M\overline{M} ou M MM\overline{M}\ \overline{M} M. Donc la probabilité est de : 3×0,6×0,4×0,4=0,2883\times 0{,}6\times 0{,}4\times 0{,}4=0{,}288

Remarque :

  • Si vous vous demandez d'où vient ce "0,4" dans les calculs, il faut remarquer que l'évènement M\overline{M} est l'évènement contraire de l'évènement MM, soit NN ou DD. On additionne les probabilités de NN et DD, soit 0,3+0,1=0,40{,}3 + 0{,}1=0{,}4.
  • Sur l'arbre précédent, il n'y est pas indiqué lorsqu'on s'intéresse à trois personnes. Il faut rajouter trois branches au bout de chacune des neuf branches existantes, avec les mêmes probabilités.

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