Mise en forme canonique et résolution du second degré

Mise en forme canonique du trinôme de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c

On a un trinôme de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c.

Développement

ax2+bx+cax^2+bx+c

=a×[x2+bax+ca]=a \times \big[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\big]

=a×[(x+b2a)2+cab24a2]=a \times \bigg[ \big(\dfrac{x+b}{2a}\big)^2 + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}\bigg]

=a×[(x+b2a)2b24ac4a2]=a\times \bigg[ \big(\dfrac{x+b} {2a}\big)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\bigg]

=a×[(x+b2a)2Δ4a2]=a \times \bigg[ \big(\dfrac{x+b}{2a}\big)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\bigg]

Explications

Le calcul qui t'embête c'est:

cab24a2\dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}

=4ac4a2b24a2= \dfrac{4ac}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2}

=> On met au même dénominateur

=4acb24a2=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}

=b24ac4a2= - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

Voilà.
Il faut juste remarquer que 4acb2=(b24ac)4ac-b^2=-(b^2-4ac).

Résolution des équations du 2nd degré

De la forme canonique on retrouve les bases de la résolution des équations du 2nd degré:

ax2+bx+c=a×[(x+b2a)2Δ4a2]ax^2+bx+c=a \times \bigg[ \bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\bigg] avec Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

On cherche quand l'expression s'annule:

a×[(x+b2a)2Δ4a2]=0a \times \bigg[ \bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\bigg] = 0

(x+b2a)2Δ4a2=0\bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} = 0 => car a0a\neq0

(x+b2a)2=Δ4a2\bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}

Solutions : nombre et formules

Donc vu que le membre de gauche est positif ou nul, que 4a2>04a^2>0, si:

  • Δ<0\Delta<0, l'équation ne peut avoir de solution dans R\mathbb{R} (un carré(membre de gauche) n'est jamais strictement négatif).
  • Δ=0\Delta=0, l'équation possède une unique solution dans R\mathbb{R}:

Il faut (x+b2a)2=0\bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2=0, donc x=b2ax= \dfrac{-b}{2a}.

  • Δ>0\Delta>0, l'équation possède 2 solutions dans R\mathbb{R} (cf. la fonction xx2x \rightarrow x^2):

(x+b2a)2=Δ4a2\bigg(\dfrac{x+b}{2a}\bigg)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}

x+b2a=±Δ2a\dfrac{x+b}{2a} = \pm\sqrt{\dfrac{\Delta}{2a}} => on passe à la racine.

Et x=(b±Δ2a)\boxed{x=\bigg(\dfrac {-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\bigg)}.

Merci à Jeet-Chris


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