L'identification pour une fonction rationnelle

Cette fiche explique la méthode d'identification dans le cas d'une fonction rationnelle, grâce à un exemple.

Méthode

Objectif

Soit ff la fonction définie par :

f(x)=x2+x2x+3f(x)= \dfrac{x^2+x-2}{x+3}

Il s'agit de montrer qu'on peut trouver 3 réels aa, bb et cc tels que :

f(x)=ax+b+cx+3f(x) = ax+b+\dfrac{c}{x+3}

Démonstration

On part de :

ax+b+cx+3ax+b+\dfrac{c}{x+3}

On commence par mettre les fractions au même dénominateur, puis on regroupe les termes de même degré.

ax+b+cx+3=(ax+b)(x+3)+cx+3=ax2+3ax+bx+3b+cx+3=ax2+(3a+b)x+(3b+c)x+3ax+b+\dfrac{c}{x+3} =\dfrac{(ax+b)(x+3) + c}{x+3} =\dfrac{ax^2+3ax+bx+3b+c}{x+3}=\dfrac{ax^2+(3a+b)x+(3b+c)}{x+3}

Il faut donc que l'égalité suivante soit vraie pour tout xx du domaine de définition de ff.

x2+x2x+3=ax2+(3a+b)x+(3b+c)x+3\dfrac{x^2+x-2}{x+3}=\dfrac{ax^2+(3a+b)x+(3b+c)}{x+3}

Or 2 fractions ayant le même dénominateur sont égales si elles ont le même numérateur.

Il faut donc que l'égalité suivante soit vraie pour tout xx du domaine de définition de ff.

ax2+(3a+b)x+(3b+c)=x2+x2ax^2+(3a+b)x+(3b+c)=x^2+x-2

Il faut donc que les coefficients de même degré des 2 polynômes soient égaux deux à deux, c'est à dire :

{a=13a+b=13b+c=2\begin{cases} a=1 \\ 3a+b=1 \\ 3b+c=-2\end{cases}

Il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver aa, bb et cc :

{a=1b=2c=4\begin{cases} a=1 \\ b=-2 \\ c=4\end{cases}

Donc f(x)=x2+4x+3f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+3}

Par Zorro


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