Formule de la médiane en Première S

On suppose connue la loi des cosinus (formule d’Al-Kashî), dont l’énoncé est rappelé ci-dessous.

Théorème 1 (Loi des cosinus).

Dans tout triangle ABCABC, on a BC2=AB2+AC22×AB×AC×cosBAC^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}.

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Cette relation permet de calculer la longueur d’une médiane à partir des côtés dans un triangle.

Théorème 2 (Formule de la médiane).

Dans un triangle ABCABC avec AA' milieu de [BC][BC], on a : 4×AA2=2×AB2+2×AC2BC24 \times AA'^2 = 2 \times AB^2 + 2 \times AC^2 - BC^2.

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Démonstration.

Avec DD symétrique de AA par rapport à AA', la loi des cosinus dans ABDABD donne :

AD2=AB2+BD22×AB×BD×cosABD^AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos{\widehat{ABD}}.

Or, on a BD=AC,AD=2×AABD = AC, AD = 2 \times AA' et ABD^=180BAC^\widehat{ABD} = 180 -\widehat{BAC} ; donc 4×AA2=AB2+AC2+2×AB×AC×cosBAC^4 \times AA'^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}, puisque deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés.

Dans le triangle ABCABC, la loi des cosinus donne 2×AB×AC×cosBAC^=AB2+AC2BC22 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}} = AB^2 + AC^2 - BC^2.

On en déduit donc : 4×AA2=2×AB2+2×AC2BC24 \times AA'^2 = 2 \times AB^2 + 2 \times AC^2 - BC^2.

Corollaire 1.

Avec les notations traditionnelles (aa, bb, cc et mAm_A) dans le triangle, on a :

mA2=b2+c22a24\boxed{m^2_A = \dfrac{b^2 + c^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}}


Par Zauctore


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