Loi des cosinus ou Formule d'Al-Kashî en 1ère S

Voici la généralisation du théorème de Pythagore pour le calcul d'un côté dans un triangle quelconque, au moyen des deux autres côtés et du cosinus d'un angle : la formule d'Al-Kashi, connue aussi sous le nom de loi des cosinus.

Théorème 1

Ce théorème est valable dans les deux cas de figure ci-dessous :

Corollaire 1.

Le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l’angle compris entre eux.

Corollaire 2.

Avec les notations traditionnelles (angle $\widehat{A}$ opposé au côté $a$, etc...), les formules de la loi des cosinus s’écrivent :

$a^2 = b^2 + c^2- 2 \times b \times c \times \cos{\widehat{A}}$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \times a \times c \times \cos{\widehat{B}}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \times a \times b \times \cos {\widehat{C}}$.

Corollaire 3 (Critère pour reconnaître la nature d’un angle).

Dans le triangle $ABC$, l’angle $\widehat{A}$ est aigu si et seulement si $a^2 < b^2 + c^2$.

Démonstration.

En effet, la loi des cosinus montre que $a^2 < b^2 + c^2 \Longleftrightarrow 2 \times b \times c \times \cos{\widehat{A}} > 0$

c’est-à-dire $\widehat{A}$ aigu, comme tout angle dont le cosinus est positif.

Démonstration du théorème

Le premier cas de figure est celui où l’angle $\widehat{A}$ est aigu.

Pour évaluer le carré de $BC$, on place le projeté orthogonal $H$ de $B$ sur $[AC]$, de telle sorte que le théorème de Pythagore dans le triangle $BHC$ donne :

$(1)$ $BC^2 = BH^2 + HC^2$.

Pour introduire le côté $AB$, on écrit le théorème de Pythagore dans le triangle $BAH$ : $BH^2 = AB^2 - AH^2$,

d’où en remplaçant dans $(1)$ :

$(2)$ $BC^2 = AB^2 - AH^2 + HC^2$.

Pour introduire le côté $AC$, on écrit : $HC^2 = (AC - AH)^2 = AC^2 + AH^2 - 2 \times AC \times AH$.

d’où en remplaçant dans $(2)$ : $BC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 + AH^2 - 2 \times AC \times AH$

$(3)$ $= AB^2 + AC^2- 2 \times AC \times AH$

Or, en projetant la longueur $AB$ sur la droite $(AC)$, on a :

$AH = AB \times \cos \widehat{A}$,

d’où finalement en remplaçant dans $(3)$ :

$(4)$ $BC^2 = BA^2 + AC^2 - 2 \times BA \times AC \times \cos \widehat{A}$.

Le second cas de figure est celui où l’angle $\widehat{A}$ est obtus.

Les seules différences avec le premier cas sont :

$HC^2 = (AC + AH)^2 = AC^2 + AH^2 + 2 \times AC \times AH$,

ainsi que : $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times AC \times AH$

et $AH = AB \times \cos {(180 - \widehat{A})} = - AB \times cos{\widehat{A}}$.

La conclusion $(4)$ reste donc la même.

Par Zauctore

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