Loi des cosinus ou Formule d'Al-Kashî en 1ère S

Voici la généralisation du théorème de Pythagore pour le calcul d'un côté dans un triangle quelconque, au moyen des deux autres côtés et du cosinus d'un angle : la formule d'Al-Kashi, connue aussi sous le nom de loi des cosinus.

Théorème 1

Dans un triangle ABCABC, on a les relations :

  • AB2=AC2+CB22×AC×CB×cosC^AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \times AC \times CB \times \cos {\widehat{C}}

  • AC2=AB2+BC22×AB×BC×cosB^AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{\widehat{B}}

  • BC2=BA2+AC22×BA×AC×cosA^BC^2 = BA^2 + AC^2 - 2 \times BA \times AC \times \cos{\widehat{A}}.

Ce théorème est valable dans les deux cas de figure ci-dessous :

image

Corollaire 1.

Le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l’angle compris entre eux.

Corollaire 2.

Avec les notations traditionnelles (angle A^\widehat{A} opposé au côté aa, etc...), les formules de la loi des cosinus s’écrivent :

a2=b2+c22×b×c×cosA^a^2 = b^2 + c^2- 2 \times b \times c \times \cos{\widehat{A}}

b2=a2+c22×a×c×cosB^b^2 = a^2 + c^2 - 2 \times a \times c \times \cos{\widehat{B}}

c2=a2+b22×a×b×cosC^c^2 = a^2 + b^2 - 2 \times a \times b \times \cos {\widehat{C}}.

Corollaire 3 (Critère pour reconnaître la nature d’un angle).

Dans le triangle ABCABC, l’angle A^\widehat{A} est aigu si et seulement si a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2.

Démonstration.

En effet, la loi des cosinus montre que a2<b2+c22×b×c×cosA^>0a^2 < b^2 + c^2 \Longleftrightarrow 2 \times b \times c \times \cos{\widehat{A}} > 0

c’est-à-dire A^\widehat{A} aigu, comme tout angle dont le cosinus est positif.

Démonstration du théorème

Le premier cas de figure est celui où l’angle A^\widehat{A} est aigu.

image

Pour évaluer le carré de BCBC, on place le projeté orthogonal HH de BB sur [AC][AC], de telle sorte que le théorème de Pythagore dans le triangle BHCBHC donne :

(1)(1) BC2=BH2+HC2BC^2 = BH^2 + HC^2.

Pour introduire le côté ABAB, on écrit le théorème de Pythagore dans le triangle BAHBAH : BH2=AB2AH2BH^2 = AB^2 - AH^2,

d’où en remplaçant dans (1)(1) :

(2)(2) BC2=AB2AH2+HC2BC^2 = AB^2 - AH^2 + HC^2.

Pour introduire le côté ACAC, on écrit : HC2=(ACAH)2=AC2+AH22×AC×AHHC^2 = (AC - AH)^2 = AC^2 + AH^2 - 2 \times AC \times AH.

d’où en remplaçant dans (2)(2) : BC2=AB2AH2+AC2+AH22×AC×AHBC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 + AH^2 - 2 \times AC \times AH

(3)(3) =AB2+AC22×AC×AH= AB^2 + AC^2- 2 \times AC \times AH

Or, en projetant la longueur ABAB sur la droite (AC)(AC), on a :

AH=AB×cosA^AH = AB \times \cos \widehat{A},

d’où finalement en remplaçant dans (3)(3) :

(4)(4) BC2=BA2+AC22×BA×AC×cosA^BC^2 = BA^2 + AC^2 - 2 \times BA \times AC \times \cos \widehat{A}.

Le second cas de figure est celui où l’angle A^\widehat{A} est obtus.

image

Les seules différences avec le premier cas sont :

HC2=(AC+AH)2=AC2+AH2+2×AC×AHHC^2 = (AC + AH)^2 = AC^2 + AH^2 + 2 \times AC \times AH,

ainsi que : BC2=AB2+AC2+2×AC×AHBC^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times AC \times AH

et AH=AB×cos(180A^)=AB×cosA^AH = AB \times \cos {(180 - \widehat{A})} = - AB \times cos{\widehat{A}}.

La conclusion (4)(4) reste donc la même.

Par Zauctore


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