Fonctions dérivées en 1ère S

I. Nombre dérivé

ff est une fonction définie sur un intervalle II.

1. Définitions

On fixe un nombre aa dans l'intervalle II.
Le réel

Tf(a)=f(a+h)f(a)h, avec kR+T_f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\textrm{ avec } k\in\mathbb R^+

s'appelle le taux d'accroissement de ff en aa.

Définition :
ff est dite dérivable en aa si

limh0f(a+h)f(a)h existe.\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\textrm{ existe.}

On note

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

f(a)f'(a) s'appelle le nombre dérivé de ff en aa.

Exemple :

  1. La fonction carrée est-elle dérivable en 33.
    On pose g(x)=x2g(x)=x^2
    On calcule :
    g(3+h)=(3+h)2=9+2×3×h+h2=9+6h+h2g(3+h)=(3+h)^2=9+2\times 3\times h+h^2=9+6h+h^2
    et g(3)=32=9g(3)=3^2=9
    Calculons le taux d'accroissement de gg en aa.

Tg(3)=g(3+h)g(3)h=9+6h+h29h=6h+h2h=h(6+h)h=6+hT_g(3)=\frac{g(3+h)-g(3)}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h

et

limh0Tg(3)=6\lim_{h\rightarrow 0}T_g(3)=6

La fonction carrée est dérivable en 33 et g(3)=6g'(3)=6.

  1. ff est définie sur R\mathbb R par : f(x)=3x35f(x)=3x^3-5. Est-elle dérivable en 11 ?
    Calculons le taux d'accroissement :

Tf(1)=f(1+h)f(1)hT_f(1)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}

D'une part :
f(1+h)=3(1+h)35=3(1+3h+3h2+h3)5=3h3+9h2+9h2f(1+h)=3(1+h)^3-5=3(1+3h+3h^2+h^3)-5=3h^3+9h^2+9h-2
et
f(1)=35=2f(1)=3-5=-2
Ainsi, on a pour le taux d'accroissement :

Tf(1)=3h3+9h2+9h2(2)h=3h2+9h+9T_f(1)=\frac{3h^3+9h^2+9h-2-(-2)}{h}=3h^2+9h+9

et

limh0Tf(1)=9\lim_{h\rightarrow 0} T_f(1)=9

ff est donc dérivable en 11 et f(1)=9f'(1)=9.

2. Nombre dérivé et tangente

Dans un repère (O ;i ;j)(O\ ;\vec i\ ;\vec j), (C)(\mathcal C) est la courbe de ff.
nombre-derivee
f(a+h)f(a)a+ha\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} est le coefficient directeur de la droite (AB)(AB).
On remarque que f(a+h)f(a)a+ha\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} est en fait Tf(a)T_f(a).
Ainsi, si ff est dérivable en aa, (AB)(AB) a une position limite, quand h0h\rightarrow 0, qui est la tangente à la courbe en AA.
Donc

Propriété :
Si ff est dérivable en aIa\in I, la tangente à la courbe C\mathcal C a pour coefficient directeur f(a)f'(a)

Exemple :
On considère la fonction gg définie par g(x)=x2g(x)=x^2
On a vu que g(3)=6g'(3)=6. TAT_A a pour coefficient directeur 66 ; elle a une équation du type :

y=6x+py=6x+p

Or, A(3; g(3))=(3 ;9)A(3;\ g(3))=(3\ ;9) appartient à TAT_A.
Donc :

9=6×3+pp=99=6\times 3+p \Rightarrow p=-9

Ainsi, TAT_A a pour équation : y=6x9y=6x-9

On peut généraliser le résultat précédent par la propriété suivante :

La tangente à (C)(\mathcal C) au point d'abscisse aa a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

Démonstration :
TAT_A a pour coefficient directeur f(a)f'(a) ;
Donc : y=f(a)x+py=f'(a)x+p
A(a ;f(a))(TA)A(a\ ;f(a))\in (T_A) donc f(a)=f(a)×a+pf(a)=f'(a)\times a+p
Donc, p=f(a)f(a)×ap=f(a)-f'(a)\times a.
Ainsi,

(TA):y=f(a)x+f(a)f(a)a(T_A) : y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a

(TA):y=f(a)(xa)+f(a)(T_A) : y=f'(a)(x-a)+f(a)

3. Exemples de fonctions non dérivables en une valeur

Premier exemple : la fonction racine carrée

r(x)=xr(x)=\sqrt x

Etudions la dérivabilité en 00. Pour cela, calculons le taux d'accroissement.

T0=r(0+h)r(0)h=hh=1hT_0=\frac{r(0+h)-r(0)}{h}=\frac{\sqrt h}{h}=\frac{1}{\sqrt h}

La limite quand h0h\rightarrow 0 n'existe pas. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 00.

Deuxième exemple : la fonction valeur absolue

a(x)=xa(x)=\vert x\vert

Procédons de la même manière :

T0=a(0+h)a(0)h=hhT_0=\frac{a(0+h)-a(0)}{h}=\frac{\vert h\vert}{h}

Deux cas se présentent à nous :

  • si h>0, T0(h)=1h>0,\ T_0(h)=1
  • si h<0, T0(h)=1h<0,\ T_0(h)=-1

La limite quand h0h\rightarrow 0 n'existe pas (il y en a deux). La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 00.

II. Fonctions dérivables

1. Dérivabilité de fonctions usuelles

Voici une liste non exaustive de fonctions et de leur dérivée :

  • fonction constante : xR, f(x)=c\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=c, ff est dérivable en tout point aRa\in\mathbb R et f(a)=0f'(a)=0 ;
  • fonction identité : xR, g(x)=x\forall x\in\mathbb R,\ g(x)=x, gg est dérivable en tout point aRa\in\mathbb R et g(a)=1g'(a)=1 ;
  • fonction carrée : xR, c(x)=x2\forall x\in\mathbb R,\ c(x)=x^2, cc est dérivable en tout point aRa\in\mathbb R et c(a)=2ac'(a)=2a ;
  • fonction cube : xR, k(x)=x3\forall x\in\mathbb R,\ k(x)=x^3, kk est dérivable en tout point aRa\in\mathbb R et k(a)=3a2k'(a)=3a^2 ;
  • fonction inverse : xR, i(x)=1x\forall x\in\mathbb R^*,\ i(x)=\frac{1}{x}, ii est dérivable en tout point aRa\in\mathbb R^* et i(a)=1a2i'(a)=-\frac{1}{a^2} ;
  • fonction racine carré : xR+, m(x)=x\forall x\in\mathbb R^+,\ m(x)=\sqrt x, mm est dérivable en tout point aR+a\in\mathbb R^+_* et m(a)=12am'(a)=\frac{1}{2\sqrt a} ;

On peut écrire la propriété générale suivante :

La fonction qui à xx associe f(x)f'(x) sur l'ensemble de dérivabilité de ff s'appelle la fonction dérivée de ff, notée ff'.

2. Opérations sur les fonctions dérivables

Propriété :
uu et vv désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle II. Alors :

  • (u+v)(u+v) est dérivable sur II et (u+v)=u+v(u+v)'=u'+v' ;
  • Pour kRk\in\mathbb R, kuku est dérivable sur II et (ku)=ku(ku)'=ku' ;
  • (u×v)(u\times v) est dérivable sur II et (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv' ;
  • Pour les valeurs pour lesquelles v(x)v(x) est différent de 00, 1v\frac{1}{v} est dérivable sur II et (1v)=vv2(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2} ;
  • Pour les valeurs pour lesquelles v(x)v(x) est différent de 00, uv\frac{u}{v} est dérivable sur II et (uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.

Exemple :
Etudiez la dérivabilité des fonctions suivantes, puis donnez leur fonction dérivée.

  1. f(x)=x3+5x27x+3f(x)=x^3+5x^2-7x+3
    ff est une somme de fonctions dérivables sur R\mathbb R, elle est donc dérivable sur R\mathbb R et on a :

f(x)=3x2+5×2x7×1+0f'(x)=3x^2+5\times 2x-7\times 1 +0

f(x)=3x2+10x7f'(x)=3x^2+10x-7

  1. g(x)=x(x+2)g(x)=\sqrt x(x+2)
    gg est un produit de fonction dérivables sur ]0;+[]0;+\infty[ (g=u×vg=u\times vu(x)=xu(x)=\sqrt x est dérivable sur ]0;+[]0;+\infty[ et v(x)=x+2v(x)=x+2 est dérivable sur R\mathbb R)

g(x)=uv+uv=12x×(x+2)+x×1g'(x)=u'v+uv'=\frac{1}{2\sqrt x}\times (x+2)+\sqrt x\times 1

g(x)=x+22x+xg'(x)=\frac{x+2}{2\sqrt x}+\sqrt x

  1. h(x)=3x4x21h(x)=\frac{3x-4}{x^2-1}
    h=uvh=\frac{u}{v} est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur R\{1;1}\mathbb R\backslash\{-1;1\} et on a :

h(x)=uvuvv2=3(x21)2x(3x4)(x21)2h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{3(x^2-1)-2x(3x-4)}{(x^2-1)^2}

h(x)=3x2+8x3(x21)2h'(x)=\frac{-3x^2+8x-3}{(x^2-1)^2}

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