Factorisation d'un polynôme par identification

Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification.
Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré nn.

I. Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)

Il s'agit de trouver 3 réels aa, bb et cc tels que pour tout réel xx :

x3x22x+8=(x+2)(ax2+bx+c)x^3 - x^2 -2x + 8 = (x+2)(ax^2+bx+c)

1.1 Développement

Pour déterminer les 3 réels a,b,ca, b, c on commence par développer le membre de droite :

(x+2)(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx+2ax2+2bx+2c(x+2)(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c

Puis on regroupe les termes de même degré :

(x+2)(ax2+bx+c)=ax3+(2a+b)x2+(2b+c)x+2c(x+2)(ax^2+bx+c)= ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c

1.2 Identification

Ensuite a lieu l'identification.
Pour que l'égalité ci-dessous soit vraie pour tout xx de RR:

x3x22x+8=ax3+(2a+b)x2+(2b+c)x+2cx^3-x^2-2x+8 = ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c

Il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :

{a=12a+b=12b+c=22c=8\begin{cases} a=1\\ 2a+b= -1\\2b+c = -2\\2c=8 \end{cases}

1.3 Résolution du système

Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver aa , bb et cc qui conviennent.

On trouve :

{a=1b=3c=4\begin{cases} a=1\\ b= -3\\c = 4\end{cases}

On conclut :

x3x22x+8=(x+2)(x23x+4)x^3-x^2-2x+8 =(x+2)(x^2-3x+4)

II. Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)

Soit P(x)P(x) un polynôme de degré nn

P(x)=anxn+an1xn1+...+a1x,+a0P(x) =a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_{1}x,+a_0

et soit x0x_0 une racine de ce polynôme, alors P(x)P(x) peut s'écrire sous la forme :

P(x)=(xx0)Q(x)P(x) = (x-x_0) Q(x)

avec Q(x)Q(x) un polynôme de degré n1n-1.

On part de :

P(x)=(xx0)(bn1xn1+bn2xn2+...+b1x+b0)P(x) = (x-x_0)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+ b_1x+b_0)

Les bib_i sont les coefficents de Q(x)Q(x) que nous cherchons.

que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :

P(x)=bn1xn+(bn2x0bn1)xn1+(bn3x0bn2)xn2+...+(b0x0b1)xx0b0P(x) = b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-x_0b_{n-1})x^{n-1}+(b_{n-3}-x_0b_{n-2})x^{n-2}+...+(b_0 - x_0b_1)x-x_0b_0

D'où le système :

{bn1=anbn2x0bn1=an1bn3x0bn2=an2...b0x0b1=a1x0b0=a0\begin{cases}b_{n-1} = a_n\\ b_{n-2} - x_0b_{n-1} = a_{n-1}\\ b_{n-3} - x_0b_{n-2} = a_{n-2}\\ ...\\ b_0 - x_0b_1 = a_1\\x_0b_0 = a_0\end{cases}

Ainsi en résolvant le système, on trouve bn1b_{n-1}, bn2b_{n-2}, ..., b1b_1, b0b_0 ce qui nous permet de factoriser le polynôme P(x)P(x).