Equations du second degré : formules quadratiques

Un descriptif complet des méthodes de résolution d'équations du second degré avec démonstrations, au niveau de la classe de Première.

1- Résolution

Dans cette section, on illustre sur un exemple la résolution d’une équation du second degré. Les principes en seront repris dans les cas généraux des sections 2 et 3.

Considérons par exemple l’équation :

$x^2 - 6x + 17 = 0$. $(1)$

Le début du polynôme $x^2 - 6x + 17$ rappelle le développement remarquable : $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

On en déduit que :

$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$.

Alors, l’équation $(1)$ devient donc :

$(x - 3)^2 - 9 + 17 = 0$

c’est-à-dire

$(x - 3)^2 - 8 = 0$.

Avec le fait que $\sqrt{2}^2= 2$, on écrit ensuite $(x - 3)^2 - \sqrt{8}^2= 0$

et on factorise avec l’identité $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$ bien connue : $(x - 3 - \sqrt{8})(x - 3 +\sqrt{8})= 0$.

On a obtenu une équation du type produit-nul, dont les solutions sont : $x = 3 + \sqrt{8}$ ou $x = 3 - \sqrt{8}$.

A l’aide des propriétés de la racine carrée, on écrit plutôt : $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, d’où la forme définitive des solutions $x = 3 + 2\sqrt{2}$ ou $x = 3 - 2\sqrt{2}$

Remarques.
On peut condenser l’écriture de ces deux solutions $x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$ en gardant à l’esprit que l’on désigne ainsi deux valeurs, obtenues en changeant le signe devant la racine carrée. L’astuce de calcul qui consiste à écrire $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ est appelée complément du carré dans la suite.

2 - Formules pour l’équation unitaire

On résout l’équation : $x^2 + px + q = 0$ $(2)$ de la façon suivante.

Par complément du carré, on a : $\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2 - \dfrac{p^2}{4}+ q = 0$.

En mettant au même dénominateur mais en conservant une différence, on a :

$\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2 - \dfrac{p^2-4q}{4} = 0$.

Si la quantité (on l’appelle discriminant) $p^2 - 4q$ est positive (et seulement dans ce cas), alors on peut prendre la racine carrée du second terme :
$\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2$ $- \bigg(\dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)^2 = 0$

avec la propriété de la racine carrée vis-à-vis du quotient.

Grâce à l’identité : $u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)$, on en déduit que :

$\bigg(\big(x + \dfrac{p}{2}\big)+ \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(\big(x + \dfrac{p}{2}\big) - \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0$

c’est-à-dire

$\bigg(x + \dfrac{p}{2}+ \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(x + \dfrac{p}{2} - \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0$

ou bien encore

$\bigg(x - \dfrac{-p - \sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(x - \dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0$

3 - Formules pour l’équation générale

On résout l’équation $a x^2 + b x + c = 0$ $(3)$ avec $a > 0$, de la façon suivante. En factorisant par $a$, on obtient :

$a \bigg(x^2 +\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\bigg)=0$

En complétant le carré :

$a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} +\dfrac{c}{a}\bigg)=0$

ce qui devient :

$a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\bigg)=0$

A condition que :

$b^2-4ac \geqslant 0$

Alors on peut prendre la racine carrée du second terme de la parenthèse pour obtenir :

$a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \big(\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\big)^2\bigg)=0$

Ce qui devient :

$a\bigg(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(x + \dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)=0$

C'est-à-dire

$a\bigg(x - \dfrac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(x - \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)=0$

4 - Factorisation

Dans le cours des démonstrations précédentes, on a vu que l’équation unitaire s’écrit sous forme factorisée : $\boxed{x^2 + p x + q = (x - x')(x - x")}$

où $x' =\dfrac{-p - \sqrt{p^2 -4q}}{2}$ et $x" = \dfrac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

à condition que l’on ait $p^2 - 4q \geqslant 0$.

D’autre part, on a aussi vu que l’équation générale s’écrit sous forme factorisée :

$\boxed{a x^2 + b x + c = a(x - x_1)(x - x_2)}$

où $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

à condition que $b^2 - 4ac \geqslant 0$.

5 - Application des formules

La connaissance de ces formules permet d’éviter les étapes de calcul montrées à la section 1.

Soit l’équation unitaire du second degré $x^2 - 10x + 3 = 0$.

On identifie $p = -10$ et $q = 3$ avec les notations de la section 2. On calcule le discriminant $p^2 - 4q = 100 -12 = 88 > 0$

et alors on obtient :

$x' =\dfrac{10 -\sqrt{88}}{2}$ ou $x" = \dfrac{10 + \sqrt{88}}{2}$

c’est-à-dire $x' = 5 -\sqrt{22}$ ou bien $x" = 5 + \sqrt{22}$

et on a aussi la factorisation : $x^2 - 10x + 3 = \big(x - 5 +\sqrt{22}\big)\big(x - 5 -\sqrt{22}\big)$.

Soit l’équation (non unitaire) du second degré : $3x^2 - 10x + 6 = 0$

Alors, on identifie les coefficients $a = 3$, $b = -10$ et $c = 6$ avec les notations de la section 3.

Le discriminant est $\Delta = (-10)^2 - 4 \times 3 \times 6 = 28 > 0$.

On peut donc utiliser les formules quadratiques pour obtenir les solutions $x =\dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{2\times 3}$

c’est-à-dire : $x_1 =\dfrac{5 +\sqrt{7}}{3}$ et $x_2 = \dfrac{5-\sqrt{7}}{3}$

et on a aussi la factorisation : $3x^2 - 10x + 6 = 3\bigg(x- \dfrac{5+\sqrt{7}}{3}\bigg)\bigg(x- \dfrac{5-\sqrt{7}}{3}\bigg)$

Note : Merci Zauctore !

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