Equations du second degré : formules quadratiques

Un descriptif complet des méthodes de résolution d'équations du second degré avec démonstrations, au niveau de la classe de Première.

1- Résolution

Dans cette section, on illustre sur un exemple la résolution d’une équation du second degré. Les principes en seront repris dans les cas généraux des sections 2 et 3.

Considérons par exemple l’équation :

x26x+17=0x^2 - 6x + 17 = 0. (1)(1)

Le début du polynôme x26x+17x^2 - 6x + 17 rappelle le développement remarquable : (x3)2=x26x+9(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.

On en déduit que :

x26x=(x3)29x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.

Alors, l’équation (1)(1) devient donc :

(x3)29+17=0(x - 3)^2 - 9 + 17 = 0

c’est-à-dire

(x3)28=0(x - 3)^2 - 8 = 0.

Avec le fait que 22=2\sqrt{2}^2= 2, on écrit ensuite (x3)282=0(x - 3)^2 - \sqrt{8}^2= 0

et on factorise avec l’identité u2v2=(uv)(u+v)u^2 - v^2 = (u - v)(u + v) bien connue : (x38)(x3+8)=0(x - 3 - \sqrt{8})(x - 3 +\sqrt{8})= 0.

On a obtenu une équation du type produit-nul, dont les solutions sont : x=3+8x = 3 + \sqrt{8} ou x=38x = 3 - \sqrt{8}.

A l’aide des propriétés de la racine carrée, on écrit plutôt : 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, d’où la forme définitive des solutions x=3+22x = 3 + 2\sqrt{2} ou x=322x = 3 - 2\sqrt{2}

Remarques.
On peut condenser l’écriture de ces deux solutions x=3±22x = 3 \pm 2 \sqrt{2} en gardant à l’esprit que l’on désigne ainsi deux valeurs, obtenues en changeant le signe devant la racine carrée. L’astuce de calcul qui consiste à écrire x26x=(x3)29x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 est appelée complément du carré dans la suite.

2 - Formules pour l’équation unitaire

On résout l’équation : x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 (2)(2) de la façon suivante.

Par complément du carré, on a : (x+p2)2p24+q=0\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2 - \dfrac{p^2}{4}+ q = 0.

En mettant au même dénominateur mais en conservant une différence, on a :

(x+p2)2p24q4=0\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2 - \dfrac{p^2-4q}{4} = 0.

Si la quantité (on l’appelle discriminant) p24qp^2 - 4q est positive (et seulement dans ce cas), alors on peut prendre la racine carrée du second terme :
(x+p2)2\big(x + \dfrac{p}{2}\big)^2 (p24q2)2=0- \bigg(\dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)^2 = 0

avec la propriété de la racine carrée vis-à-vis du quotient.

Grâce à l’identité : u2v2=(u+v)(uv)u^2 - v^2 = (u + v)(u - v), on en déduit que :

((x+p2)+p24q2)((x+p2)p24q2)=0\bigg(\big(x + \dfrac{p}{2}\big)+ \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(\big(x + \dfrac{p}{2}\big) - \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0

c’est-à-dire

(x+p2+p24q2)(x+p2p24q2)=0\bigg(x + \dfrac{p}{2}+ \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(x + \dfrac{p}{2} - \dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0

ou bien encore

(xpp24q2)(xp+p24q2)=0\bigg(x - \dfrac{-p - \sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)\bigg(x - \dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg) = 0

Les solutions sont donc : x=p±p24q2\boxed{x= \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}}

3 - Formules pour l’équation générale

On résout l’équation ax2+bx+c=0a x^2 + b x + c = 0 (3)(3) avec a>0a > 0, de la façon suivante. En factorisant par aa, on obtient :

a(x2+bax+ca)=0a \bigg(x^2 +\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\bigg)=0

En complétant le carré :

a((x+b2a)2b24a2+ca)=0a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} +\dfrac{c}{a}\bigg)=0

ce qui devient :

a((x+b2a)2b24ac4a2)=0a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\bigg)=0

A condition que :

b24ac0b^2-4ac \geqslant 0

Alors on peut prendre la racine carrée du second terme de la parenthèse pour obtenir :

a((x+b2a)2(b24ac2a)2)=0a\bigg(\big(x + \dfrac{b}{2a}\big)^2 - \big(\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\big)^2\bigg)=0

Ce qui devient :

a(x+b2a+b24ac2a)(x+b2ab24ac2a)=0a\bigg(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(x + \dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)=0

C'est-à-dire

a(xbb24ac2a)(xb+b24ac2a)=0a\bigg(x - \dfrac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)\bigg(x - \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\bigg)=0

Les solutions sont donc : x=b±b24ac2a\boxed{x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

4 - Factorisation

Dans le cours des démonstrations précédentes, on a vu que l’équation unitaire s’écrit sous forme factorisée : x2+px+q=(xx)(xx")\boxed{x^2 + p x + q = (x - x')(x - x")}

x=pp24q2x' =\dfrac{-p - \sqrt{p^2 -4q}}{2} et x"=p+p24q2x" = \dfrac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}

à condition que l’on ait p24q0p^2 - 4q \geqslant 0.

D’autre part, on a aussi vu que l’équation générale s’écrit sous forme factorisée :

ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)\boxed{a x^2 + b x + c = a(x - x_1)(x - x_2)}

x1=bb24ac2ax_1 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} et x2=b+b24ac2ax_2 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

à condition que b24ac0b^2 - 4ac \geqslant 0.

5 - Application des formules

La connaissance de ces formules permet d’éviter les étapes de calcul montrées à la section 1.

Soit l’équation unitaire du second degré x210x+3=0x^2 - 10x + 3 = 0.

On identifie p=10p = -10 et q=3q = 3 avec les notations de la section 2. On calcule le discriminant p24q=10012=88>0p^2 - 4q = 100 -12 = 88 > 0

et alors on obtient :

x=10882x' =\dfrac{10 -\sqrt{88}}{2} ou x"=10+882x" = \dfrac{10 + \sqrt{88}}{2}

c’est-à-dire x=522x' = 5 -\sqrt{22} ou bien x"=5+22x" = 5 + \sqrt{22}

et on a aussi la factorisation : x210x+3=(x5+22)(x522)x^2 - 10x + 3 = \big(x - 5 +\sqrt{22}\big)\big(x - 5 -\sqrt{22}\big).

Soit l’équation (non unitaire) du second degré : 3x210x+6=03x^2 - 10x + 6 = 0

Alors, on identifie les coefficients a=3a = 3, b=10b = -10 et c=6c = 6 avec les notations de la section 3.

Le discriminant est Δ=(10)24×3×6=28>0\Delta = (-10)^2 - 4 \times 3 \times 6 = 28 > 0.

On peut donc utiliser les formules quadratiques pour obtenir les solutions x=10±282×3x =\dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{2\times 3}

c’est-à-dire : x1=5+73x_1 =\dfrac{5 +\sqrt{7}}{3} et x2=573x_2 = \dfrac{5-\sqrt{7}}{3}

et on a aussi la factorisation : 3x210x+6=3(x5+73)(x573)3x^2 - 10x + 6 = 3\bigg(x- \dfrac{5+\sqrt{7}}{3}\bigg)\bigg(x- \dfrac{5-\sqrt{7}}{3}\bigg)


Note : Merci Zauctore !


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