Les dérivées des fonctions de référence

Voici un résumé des dérivées des fonctions de référence, pour la classe de première S, avec :

  • Les dérivées des fonctions simples
  • Les dérivées des fonctions composées
  • Les dérivées des fonctions de fonctions
  • Les dérivées des fonctions réciproques

Ce cours vous est proposé par Nelly.

I - Dérivées des fonctions simples

aa un réel quelconque et xx différent de 00.

Fonctions Dérivées
aa 00
xnx^n nxn1nx^{n-1}
x\sqrt{x} 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
1x\frac{1}{x} 1x2\frac{-1}{x^2}
exe^x exe^x
axa^x axln(a)a^xln{(a)}
ln(x)ln(x) ou lnxln |x| 1x\frac{1}{x}
sin(x)\sin(x) cos(x)\cos(x)
cos(x)\cos(x) sin(x)-\sin(x)
tan(x)\tan(x) 1cos2(x)\frac{1}{\cos^2(x)} ou 1+tan2(x)1 + \tan^2(x)
arcsin(x)\arcsin(x) 11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
arccos(x)\arccos(x) 11x2\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
arctan(x)\arctan(x) 11+x2\frac{1}{1+x^2}

Conseils de Nelly :
Panique pendant une interro !
Quelles sont les dérivées de cos\cos et de sin\sin...??
Voilà une petite astuce pour s'en souvenir :

  • sin\sin commence par un "s" comme simple : sa dérivée est donc cos\cos
  • cos\cos commence par un "c" comme compliqué :sa dérivée est donc sin\sin

II - Opérations sur les fonctions dérivées

uu, vv et ww sont des fonctions de la variable xx.

(u+v+w)=u+v+w(u + v + w)' = u' + v' + w'
(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
(uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

III - Dérivées de composée de fonctions

y=f(u)y = f(u) avec u=g(x)u = g(x)
f(x)=f(u)×g(x)f'(x) = f'(u)\times g'(x)

Exemple

f(x)=sin(2x+3)f(x) = \sin(2x + 3)

ici
f(x)=sin(u)f(x) = sin(u) avec u(x)=2x+3u(x) = 2x +3
f(u)=cos(u)f'(u) = \cos(u) avec u(x)=2u'(x) = 2

f(x)=cos(2x+3)×2f'(x) = \cos(2x + 3)\times 2

Conseils de Nelly:
Faites bien attention à uu', il est très souvent oublié!

IV - Dérivées des fonctions réciproques

Je note f1f^{-1} la fonction réciproque d'une fonction ff

SI y=f(x)x=f1(y)y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)
ALORS f(x)×f1(y)=1f'(x)\times f^{-1}(y) = 1

Exemple

y=f(x)=2xx=f1(y)=y/2y = f(x) = 2x \Longleftrightarrow x = f^{-1}(y) = y/2

ici: f(x)=2f'(x) = 2 et f1(y)=12f^{-1}(y)^\prime = \frac{1}{2}
f(x).f1(y)=2×12f'(x). f^{-1}(y)^\prime = 2\times \frac {1}{2}
f(x).f1(y)=1f'(x). f^{-1}(y)^\prime = 1