Calcul barycentrique

Classe de Première.

Cours (sans démonstration) rappelant l'essentiel sur les barycentres.

1 - Introduction

Deux masses, l’une de 33 kg et l’autre de 77 kg, sont fixées aux extrémités d’une barre comme représenté ci-dessous.

image

Le point d’équilibre GG de cette barre est le point où s’équilibrent les forces exercées par ces masses ; celui-ci doit être tel que :

3GA=7GB3\overrightarrow{GA} = -7\overrightarrow{GB}

C'est-à-dire :

3GA+7GB=03\overrightarrow{GA} + 7\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}

Ce qui se traduit (après calculs) par :

AG=710AB\overrightarrow{AG} = \dfrac{7}{10} \overrightarrow{AB}

Cette égalité détermine parfaitement la position d'équilibre de la barre.

2 - Définitions

Soient (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b) deux points points pondérés- c’est-à-dire affectés d’un coefficient : aa est le coefficient de AA, bb est celui de BB.

Théorème 1

Si a+b0a + b \neq 0, alors il existe un unique point GG tel que :
aGA+bGB=0a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}

Définition 1

Lorsqu’il existe, ce point GG unique est appelé barycentre du
système de points pondérés (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b).

Remarque. Lorsque a+b=0a+b = 0, il n’est pas possible de définir le barycentre de (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b).
On retiendra, lorsque a+b0a + b \neq 0

G=bary(A;a);(B;b)aGA+bGB=0\boxed{G = bary{(A; a) ; (B ; b)} \Longleftrightarrow a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}}

Le théorème et la définition s’étendent au cas d’un système de trois points pondérés (A;a)(A; a), (B;b)(B ; b) et (C;c)(C ; c), lorsque a+b+c0a + b + c \neq 0.

Dans ce cas, on a l’existence et l’unicité du point G tel que :
aGA+bGB+cGC=0a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}

De la même manière, si a+b+...+n0a+b+...+n \neq 0, alors il existe un et un seul point GG tel que
aGA+bGB+...+nGN=0a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB} + ... + n\overrightarrow{GN}= \overrightarrow{0}

3 - Propriétés

Propriété 1 (Position)

_Pour a+b0a + b \neq 0, GG est le barycentre de (A;a)(A; a) et
(B;b)(B ; b), si, et seulement si

AG=ba+bAB\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}

De même, on a :

BG=aa+bBA\overrightarrow{BG} = \dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}

Le barycentre de deux points AA et BB est donc aligné avec ceux-ci ; inversement, tout point situé sur la droite (AB)(AB) peut être vu comme un barycentre de AA et BB. Lorsque l’on a a>0a > 0 et b>0b > 0 alors GG est situé sur le segment [AB][AB] (privé de ses extrémités)._

La propriété 11 s’étend au cas d’un nombre fini quelconque de points pondérés dont la somme des coefficients est non-nulle. Dans le cas de trois points, si a+b+c0a + b + c \neq 0, alors :

G=bary(A;a);(B;b)(C;c)AG=ba+b+cAB+ca+b+cACG = bary{(A; a) ; (B ; b) (C ; c)} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB} +\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}

Tout barycentre de trois points (non-alignés) est situé dans le plan défini par ceux-ci.

La réciproque est vraie. Lorsque l’on a a>0a > 0, b>0b > 0 et c>0c > 0, alors GG est à l’intérieur du triangle ABCABC.

La propriété 11 découle de la relation de Chasles, appliquée dans la définition du barycentre.

C’est cette propriété qui permet de construire le barycentre de deux ou trois points.

Propriété 2 (Condensation, réduction)

Pour a+b0a + b \neq 0, GG est le barycentre de (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b), si, et seulement si, pour tout point PP, on a :
aPA+bPB=(a+b)PGa\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} = (a+b)\overrightarrow{PG}

Cette propriété s’étend à plusieurs points : si a+b+c0a + b + c \neq 0, le barycentre GG de (A;a);(B;b)(C;c){(A; a) ; (B ; b) (C ; c)} est caractérisé par le fait que, pour tout PP :

aPA+bPB+cPC=(a+b+c)PGa\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c\overrightarrow{PC}= (a+b+c)\overrightarrow{PG}

La Propriété 2 est une conséquence de la relation de Chasles.

Cette propriété permet de réduire certaines sommes vectorielles (voir l’exemple type en fin d’article).

Propriété 3 (Linéarité)

Soit GG le barycentre de (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b), avec a+b0a + b \neq 0.
Alors pour tout k0k \neq 0, GG est aussi le barycentre de (A;a×k)(A; a \times k) et (B;b×k)(B ; b \times k), ou même de (A;a÷k)(A; a \div k) et (B;b÷k)(B ; b \div k).

Cela signifie que l’on peut multiplier tous les coefficients (ou les diviser) par un même nombre non-nul sans changer le barycentre.

Cette propriété s’étend à un nombre fini quelconque de points.

Propriété 4 (Associativité)

Soit GG le barycentre de (A;a)(A; a), (B;b)(B ; b) et (C;c)(C ; c), avec a+b+c0a + b + c \neq 0. Si a+b0a + b \neq 0, alors le barycentre HH de (A;a)(A; a) et (B;b)(B ; b) existe et dans ce cas, GG est encore le barycentre de (H;a+b)(H ; a + b) et (C;c)(C ; c).

C’est-à-dire qu’on peut remplacer quelques points par leur barycentre (partiel), à condition de l’affecter de la somme de leurs coefficients.

Cette propriété s’´etend à un nombre fini quelconque de points.

Ceci permet de construire le barycentre de plusieurs points.

Cas particulier.

Le milieu II d’un segment [AB][AB] est en fait le barycentre de (A;1)(A; 1) et (B;1)(B ; 1), ou même de (A;m)(A; m), (B;m)(B ; m), pour tout m0m \neq 0.
C’est l’isobarycentre des points AA et BB.

Cette notion s’étend au cas d’un nombre fini quelconque de points.
Dans le cas de trois points AA, BB et CC, on retrouve
le centre de gravité du triangle ABCABC.

Exemple-type

1. Trouver tous les points MM du plan tels que : MA+2MB=3\| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 3

Avec le barycentre GG de (A;1)(A; 1) et (B;2)(B ; 2), on obtient d’après la propriété 2 (propriété de réduction)

3MG=3\| 3 \overrightarrow{MG}\| = 3

ce qui définit le cercle de centre GG et de rayon 11.

2. Trouver tous les points MM du plan tels que MA+2MB=4MCMD\| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = \| 4\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD}\|

Avec les barycentres
GG de (A;1)(A; 1) et (B;2)(B ; 2)
HH de (C;4)(C ; 4) et (D;1)(D; -1)

On peut réduire ceci à l’aide de la propriété 2.

3MG=3MH\| 3\overrightarrow{MG}\| = \| 3\overrightarrow{MH}\|

Ce qui définit la médiatrice du segment [GH][GH].

Par Zauctore