racine carrée de 5 irrationnel


  • A

    Bonsoir,

    Je dois démontré si la racine carré de 5 est rationnel ou irrationnel voici mon raisonnement...

    http://img15.hostingpics.net/pics/156341491.png

    http://img15.hostingpics.net/pics/913518372.png
    tel que m et n sont simplifiable entre eux et divisible par 5

    http://img15.hostingpics.net/pics/973186533.png

    http://img15.hostingpics.net/pics/868121774.png

    http://img15.hostingpics.net/pics/280347995.png

    Donc m exposant2 serai un multiple de 5
    et m est multiple de 5

    http://img15.hostingpics.net/pics/314637626.jpg

    or

    http://img15.hostingpics.net/pics/768072967.png

    Donc

    http://img15.hostingpics.net/pics/697587558.png

    Donc n exposant2 serait multiple de 5 et m est multiple de 5


  • mtschoon

    Bonjour,

    Il y a des idées dans ton explication, mais il y a des "maillons manquants"

    Pour démontrer que √5 est irrationnel, tu peux raisonner par l'absurde , c'est à dire supposer que √5 est rationnel et trouver une contradiction.

    C'est peut-être ce que tu as voulu faire.

    Supposons que √5 est rationnel.

    Il existe m et n naturels (n non nul) , premiers entre eux, c'est à dire PGCD(m,n)=1, tels que :5=mn\sqrt 5=\frac{m}{n}5=nm

    Par élévation au carré et transposition, comme tu l'as indiqué : m2=5n2m^2=5n^2m2=5n2

    5 divise 5n² donc 5 divise m².

    Un nombre et son carré ont les mêmes facteurs premiers (*)

    5 est premier et 5 divise m², donc5 divise m

    Vu que 5 divise m, il existe un naturel non nul m' tel que m=5m'

    d'où :

    5n²=(5m')² <=> 5n²=25m'² <=> n²=5m'²

    donc 5 divise 5m'², donc 5 divise n².

    Avec la propriété (*),5 divise n

    CONTRADICTION, car5 divise à la fois m et n alors que m et n sont premiers entre eux.

    CONCLUSION : √5 est irrationnel.

    NB : c'est le même raisonnement que pour démontrer que racine carrée de 2 est irrationnel.


  • A

    Bonjour Mtschoon,

    Merci pour tes explications 😉


  • mtschoon

    De rien !

    Bon travail.


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