Racine carrée de 2 est irrationnel

Le but de cette fiche est de démontrer que 2\sqrt{2} est irrationnel.

Démonstration des propriétés préalables

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si aa est pair, alors a2a^2 est pair

Si aa, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 22 par un autre nombre entier.

Donc si aa est pair il existe un entier relatif bb tel que a=2×b=2ba = 2 \times b = 2b

Si a=2ba=2b , alors a2=(2b)2=4b2=2×(2b2)=2Ma^2=(2b)^2=4b^2=2\times(2b^2)=2M
avec M=2b2M=2b^2 or bNb \in \mathbb{N} donc 2b2N2b^2 \in \mathbb {N} ;

Il existe donc bien un entier MM tel que a2=2Ma^2=2M.

On arrive bien à la conclusion :

Si aa est pair alors a2a^2 est pair

Si aa est impair, alors a2a^2 est impair

Si aa est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 11

donc il peut s'écrire a=2b+1a=2b+1

alors : a2=(2b+1)2=4b2+4b+1=2×(2b2+2b)+1=2N+1a^2 = (2b+1)^2=4b^2+4b+1=2\times(2b^2+2b)+1= 2N+1

avec N=2b2+2bN=2b^2+2b qui est bien un entier

Donc si a est impair alors a2a^2 est impair

Conclusion des démonstrations préalables

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que :
a est pair si et seulement si a2a^2 est pair
Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

Démonstration de l'irrationalité de 2\sqrt{2}

La démonstration de l'irrationalité de 2\sqrt{2} se fait par l'absurde.

On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse.

Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que 2\sqrt{2} est un irrationnel.

Hypothèse de départ

On suppose que 2\sqrt{2} est rationnel

Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs pp et qq tels que 2=pq\sqrt{2}=\dfrac{p}{q} et la fraction pq\dfrac{p}{q} est irréductible

Démonstration

2=pq\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}

donc 22=pq2=p2q2\sqrt{2}^2=\dfrac{p}{q}^2=\dfrac{p^2}{q^2}

donc 2=p2q22=\dfrac{p^2}{q^2} donc p2=2q2p^2=2q^2

donc p2p^2 est pair donc pp est pair donc il existe un nombre relatif pp' tel que p=2pp=2p'

donc p2=4p2p^2=4p'^2 or p2=2q2p^2=2q^2

donc 2q2=4p22q^2=4p'^2 donc q2=2p2q^2=2p'^2

donc qq est pair donc il existe un nombre relatif qq' tel que q=2qq=2q'

donc la fraction pq=2p2q\dfrac{p}{q}=\dfrac{2p'}{2q'} n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était que 2\sqrt{2} est rationnel.

Conclusion

Donc 2\sqrt{2} est irrationnel.

par Zorro