Voila encore un exercice de DM. La encore j'ai du mal, merci a ceux qui pourraient m'aider...
On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes:
(1) pour tout nombre réel x, (f'(x))^2 - (f(x))^2 =1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R.
1.a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) diff/ 0
b) Calculer f(0)
2. En dérivant chauqe membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que:
(4) pour tout nombre réel x, f''(x)=f(x), oú f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.
3. On pose u=f' + f et v=f' - f
a) Calculer u(0) et v(0)
b) Démontrer que u'=u et v'=-v.
c) En déduire les fonctions u et v.
d)En déduire que, pour tout réel x, f(x)= (ex - e-x )/2
4.a) Etudier les limites de la fomction f en +inf/ et en -inf/
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
5.a) Soit m un nombre réel: Démontrer l'équation f(x)=m a une unique solution (alpha) dans R.
b) Déterminer cette solution lorsque m=3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10-2 près).
1)a) f'(x)² = 1 + f(x)² : est-ce que cette quantité peut devenir nulle ?
1)b) f(0)² = f'(0)² - 1 : on te donne f'(0)...
2) la dérivée du membre de droite est 0 ; celle du membre de gauche est égale à
2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x).
Alors on a bien la relation (4), car il est possible de diviser l'égalité
2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x) = 0
par 2f'(x), n'est-ce pas...
c) u= f'+f et v=f'-f uv=(f'+f)(f'-f)=f'2 -f2 =1 ce qui implique que u et v sont inverses!
u=u' => (u'/u)=1 ,je cherche la primitive de chacun des membres:la primitive de u'/u est ln(u) et le primitive de 1 est x donc g ln(u) = x je prends l'exponentielle de chaque cote et j'arrive a exp(ln(u))=u et de l'autre coté a exp(x)
donc u = e(x)
je te laisse faire la meme demarche pour v!!!
u-v =f'(f'-f)
u-v= 2f
f=(u-v)/2 tu remplace u et v par leur valeur et tu trouve f= (e(x) - e(-x))/2
On vient de montrer que u(0) = 1 et que u' = u. Quelle fonction que tu as vue en cours possède ces propriétés ? C'est u(x) = ex car e0 = 1 et (ex)' = ex.
De la même façon, v(0) = 1 et v' = -v donc v(x) = e-x car e-0 = 1 et (e-x)' = - e-x.
4a) Le calcul des limites de f est facile... je rappelle que lim ex = 0 quand x -> -inf/ et lim ex = +inf/ quand x -> +inf/.
Les autres questions sont des questions types...
Pour la 5a), je précise qu'il faut juste dire que f est une bijection de - inf/ à + inf/ sur R. Le tableau de variations de f permettra de démontrer ça. Mais tu as déjà vu ça en cours donc tu devrais le savoir.
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