Exponentielles

Voila encore un exercice de DM. La encore j'ai du mal, merci a ceux qui pourraient m'aider...

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes:
(1) pour tout nombre réel x, (f'(x))^2 - (f(x))^2 =1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R.

1.a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) diff/ 0
b) Calculer f(0)

En dérivant chauqe membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que:
(4) pour tout nombre réel x, f''(x)=f(x), oú f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.
On pose u=f' + f et v=f' - f
a) Calculer u(0) et v(0)
b) Démontrer que u'=u et v'=-v.
c) En déduire les fonctions u et v.
d)En déduire que, pour tout réel x, f(x)= $e^x$ - $e^{-x}$ )/2

4.a) Etudier les limites de la fomction f en +inf/ et en -inf/
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

5.a) Soit m un nombre réel: Démontrer l'équation f(x)=m a une unique solution (alpha) dans R.
b) Déterminer cette solution lorsque m=3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à $10^{-2}$ près).

S'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide!

Salut.

Je n'entre pas dans les détails.

1)a) f'(x)² = 1 + f(x)² : est-ce que cette quantité peut devenir nulle ?

1)b) f(0)² = f'(0)² - 1 : on te donne f'(0)...

la dérivée du membre de droite est 0 ; celle du membre de gauche est égale à
2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x).
Alors on a bien la relation (4), car il est possible de diviser l'égalité
2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x) = 0
par 2f'(x), n'est-ce pas...

u=f'+f donc u' =f"+f' or dans le petit 2 on a demontré que f=f" que tu remplace dans u tu as donc u=f'+f"

donc u=u'

de meme pour v=f'-f donc v'=f"-f' tu remplace f par f" dans v et tu trouves v=f'-f" donc v'=-v

c) u= f'+f et v=f'-f uv=(f'+f)(f'-f)=f'2 -f2 =1 ce qui implique que u et v sont inverses!

u=u' => (u'/u)=1 ,je cherche la primitive de chacun des membres:la primitive de u'/u est ln(u) et le primitive de 1 est x donc g ln(u) = x je prends l'exponentielle de chaque cote et j'arrive a exp(ln(u))=u et de l'autre coté a exp(x)

donc u = e(x)

je te laisse faire la meme demarche pour v!!!

u-v =f'+f-(f'-f)

u-v= 2f

f=(u-v)/2 tu remplace u et v par leur valeur et tu trouve f= (e(x) - e(-x))/2

t'aurais pas un autre moyen de calculer ca parceke on a pas vu les primitives et tout ca (je veux dire ln(...) )

patibulaire
c) u= f'+f et v=f'-f uv=(f'+f)(f'-f)=f'2 -f2 =1 ce qui implique que u et v sont inverses!

u=u' => (u'/u)=1 ,je cherche la primitive de chacun des membres:la primitive de u'/u est ln(u) et le primitive de 1 est x donc g ln(u) = x je prends l'exponentielle de chaque cote et j'arrive a exp(ln(u))=u et de l'autre coté a exp(x)

donc u = e(x)

je te laisse faire la meme demarche pour v!!!

u-v =f'+f-(f'-f)

u-v= 2f

f=(u-v)/2 tu remplace u et v par leur valeur et tu trouve f= (e(x) - e(-x))/2

Salut,

3c)

On vient de montrer que u(0) = 1 et que u' = u. Quelle fonction que tu as vue en cours possède ces propriétés ? C'est u(x) = $e^x$ car $e^0$ = 1 et $e^x$ )' = $e^x$ .
De la même façon, v(0) = 1 et v' = -v donc v(x) = $e^{-x}$ car $e^{-0}$ = 1 et $e^{-x}$ )' = - $e^{-x}$ .

3d) Calcule $e^x$ - $e^{-x}$ ] / 2 = [u(x) - v(x)] / 2 = [f'(x) + f(x) - ......continue...

4a) Le calcul des limites de f est facile... je rappelle que lim $e^x$ = 0 quand x -> -inf/ et lim $e^x$ = +inf/ quand x -> +inf/.

Les autres questions sont des questions types...

Pour la 5a), je précise qu'il faut juste dire que f est une bijection de - inf/ à + inf/ sur R. Le tableau de variations de f permettra de démontrer ça. Mais tu as déjà vu ça en cours donc tu devrais le savoir.