@André-mathis , bonjour,
Tu as écrit "a^(-j) est juste un symbole pour exprimer l'inverse de a^(-j)"
Je pense que tu as fait une faute de frappe et que tu as voulu écrire :
"a^(-j) est juste un symbole pour exprimer l'inverse de a^(j)"
Je comprends ton soucis, car les notations utilisées prêtent à confusion (et il ne faut pas les prendre au premier degré )
Il faut que tu reviennes à la définition même de Z/nZZ/nZZ/nZ
Je trouve beaucoup plus clair (ce qui n'est pas le cas dans ce que tu indiques) d'écrire différemment les éléments de ZZZ et les éléments de Z/nZZ/nZZ/nZ.
Z/nZZ/nZZ/nZ est l'ensemble de classes d'équivalence de la relation d'équivalence de ZZZ définie par :
x≡y [n]x \equiv y \ [n]x≡y [n] si et seulement si x=y+knx=y+knx=y+kn, avec k∈Zk\in Zk∈Z
Les classes d'équivalence (c'est à dire les éléments de Z/nZZ/nZZ/nZ) peuvent se noter 0˙\dot 00˙, 1˙\dot 11˙, 2˙\dot 22˙ etc
Ainsi :
Z/nZ={0˙,1˙,2˙,...,(n−1)}˙Z/nZ=\lbrace\dot 0,\dot 1,\dot 2,...,\dot {(n-1)\rbrace}Z/nZ={0˙,1˙,2˙,...,(n−1)}˙
Par exemple, dans Z/10ZZ/10ZZ/10Z, on obtient : 3˙×7˙=1˙\dot 3 \times \dot 7=\dot 13˙×7˙=1˙
L'inverse de 3˙\dot 33˙, noté (3˙)−1(\dot 3)^{-1}(3˙)−1, vaut 7˙\dot 77˙
d'ou : 3˙×(3˙)−1=3×7˙=1˙\dot 3 \times (\dot 3)^{-1}= 3 \times \dot 7=\dot 13˙×(3˙)−1=3×7˙=1˙
Je te conseille les consulter la totalité de cet article que je te mets en lien et en particulier les paragraphes 3.2.2, 3.3.1 et 3.3.2
http://math.univ-lyon1.fr/~lass/anicoursarithbanal.pdf
Bonnes réflexions.