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Toutes classes: Formulaire de trigonométrie

 
Transmis par nelly,
le Lundi 24 Octobre 2005 : 368489 lectures.
Math-Fiche

Formules générales, formules d'addition des arcs et formules de multiplication des arcs.

Formulaire de trigonométrie

Par Nelly

I - Généralités

1.1/ Relations fondamentales

tan(x) = sin(x)/cos(x)
Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider!

sin²(x) + cos²(x) = 1

sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x))
cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x))

1.2/ Transformations remarquables

sin(2pi + x) = sin(x)
cos(2pi + x) = cos(x)
tan(2pi + x) = tan(x)

sin( -x) = - sin(x)
cos( -x) = cos(x)
tan( -x) = - tan(x)

sin(pi - x) = sin(x)
cos(pi - x) = - cos(x)
tan(pi - x) = - tan(x)

sin(pi + x) = - sin(x)
cos(pi + x) = - cos(x)
tan(pi + x) = tan(x)

sin(pi/2 - x) = cos(x)
cos(pi/2 - x) = sin(x)
tan(pi/2 - x) = 1/tan(x)

sin(pi/2 + x) = cos(x)
cos(pi/2 + x) = - sin(x)
tan(pi/2 + x) = -1/tan(x)

sin(3pi/2 - x) = - cos(x)
cos(3pi/2 - x) = - sin(x)
tan(3pi/2 - x) = 1/tan(x)

sin(3pi/2 + x) = - cos(x)
cos(3pi/2 + x) = sin(x)
tan(3pi/2 + x) = -1/tan(x)

1.3/ Angles remarquables

x sin(x) cos(x) tan(x) cotan(x)
0 0 1 0 /
pi/6 1/2 racine(3)/2 racine(3)/3 racine(3)
pi/4 racine(2)/2 racine(2)/2 1 1
pi/3 racine(3)/2 1/2 racine(3) racine(3)/3
pi/2 1 0 / 0
pi 0 -1 0 /

1.4/ Equations trigonométriques

k appartient à Z

sin(a) = sin(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = pi - b + 2kpi

cos(a) = cos(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = -b + 2kpi

tan(a) = tan(b)
alors a = b + kpi

II - Formules d'addition

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))
tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

sin(p) + sin(q) = 2sin((p + q)/2)cos((p - q)/2)
sin(p) - sin(q) = 2sin((p - q)/2)cos((p + q)/2)
cos(p) + cos(q) = 2cos((p + q)/2)cos((p - q)/2)
cos(p) - cos(q) = -2sin((p + q)/2)sin((p - q)/2)
tan(p) + tan(q) = sin(p + q) / (cos(p)cos(q))
tan(p) - tan(q) = sin(p - q) / (cos(p)cos(q))

sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a - b) - cos(a + b))
cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a + b) + cos(a - b))
sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a + b) + sin(a - b))

III - Formules de duplication

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
= 2tan(a) / (1 + tan²(a))

cos(2a) = cos²a - sin²a
= 2cos²a - 1
= 1 - 2sin²a

tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan²(a))

sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2
cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
tan²(a) = (1 - cos(2a)) / (1 + cos(2a))

tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a))
= (1 - cos(2a)) / sin(2a)

En posant t = tan(a/2) :

sin(a) = 2t / (1 + t²)
cos(a) = (1 - t²) / (1 + t²)
tan(a) = 2t / (1 - t²)

Formule de Moivre

( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na)

Formules d'Euler

cos θ = 1/2.(e + e-iθ)
sin θ = 1/(2i).(e - e-iθ)

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