Suites Numériques

Pré-requis: Calculer les termes d'une suite
Connaître les suites arithmétiques, géométriques
Raisonnement par récurrence.

I. Définitions

Définition n°1 :
Une suite numérique est une fonction d’une partie de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}

Exemples:

  1. On peut considérer la suite (un)(u_{n}) définie par : un=n2u_{n}=n^2
    On a alors : u0=0u_0=0; u1=1u_1=1; u2=4u_2=4; u3=9u_3=9...
  2. On considère la suite (vn)(v_{n}), définie par v0=6v_0=6 et N\forall\in\mathbb{N}, vn+1=0,2vn+4v_{n+1}=0,2v_{n}+4
    On a alors v1=0,2v0+4=5,2v_1=0,2v_0+4=5,2, v2=0,2v1+4=5,04v_2=0,2v_1+4=5,04

Remarques:
-On dit que la suite (un)(u_{n}) est définie explicitement.
On peut calculer directement des termes de « grands indices » (u100=10000u_{100}=10000)

-On dit que la suite (vn)(v_{n}) est définie par récurrence .
Pour calculer un terme il faut connaître les termes précédents.
La suite (vn)(v_{n}) peut cependant être définie explicitement, pour tout entier naturel
vn=5+0,2nv_{n}=5+0,2^n (à montrer par récurrence)

II. Représentations graphiques

1) Suites du type un=f(n)u_n=f(n)

Méthode:
Si on veut représenter graphiquement une suite un=n24n+35u_n=\frac{n^2-4n+3}{5}
on place dans le plan rapporté à un repère orthonormé les points de coordonnées (0,u0)(0,u_0), (1,u1)(1,u_1), et de manière générale « tous » les points de coordonnées (n,un)(n,u_n)

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2) Suites du type un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)

Méthode-exemple: Pour représenter graphiquement la suite (un)(u_n), définie par:
u0=10u_0=10 et un+1=un2+2unu_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{2}{u_n}
on trace sur [0;+[[0;+∞[ la représentation graphique de la fonction f(x)=x2+2xf(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}
et la droite ∆ d’équation: y=xy=x, Les termes de la suite apparaissent alors sur l’axe des abscisses.

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III. Comportement des suites.

1) Suites bornées.

Définition n°2 :
Soit (un)(u_n) une suite de nombre réels.
-La suite (un)(u_n) est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que: nN\forall n \in\mathbb{N}, unMu_n \leq M. Un tel réel M s’appelle un majorant de la suite (un)(u_n).

-La suite (un)(u_n) est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que: nN\forall n \in\mathbb{N}, unmu_n \geq m. Un tel réel m s’appelle un minorant de la suite (un)(u_n).

-La suite (un)(u_n) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M tels que: nN\forall n \in\mathbb{N}, munMm \leq u_n \leq M

Exemples:
a) On considère la suite (wn)(w_n) définie par pour tout entier naturel nn, wn=3+cos(n)w_n=3+cos(n)
On a nN\forall n \in\mathbb{N}, 2wn42 \leq w_n \leq 4 (à montrer)

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b) On considère la suite (rn)(r_n) définie par r0=6r_0=6 et nN\forall n \in\mathbb{N}, rn+1=rn+4r_{n+1}=\sqrt{r_n+4}.
On a nN\forall n \in\mathbb{N}, 2rn62 \leq r_n \leq 6 (à montrer par récurrence)

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2) Sens de variation.

Définition 2. Soit (un)(u_n) une suite de nombre réels.

  • La suite (un)(u_n) est croissante si et seulement si pour tout entier naturel nn, un+1unu_{n+1} \geq u_n.
  • La suite (un)(u_n) est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel nn, un+1unu_{n+1} \leq u_n.
  • La suite (un)(un) est constante si et seulement si pour tout entier naturel nn, un+1=unu_{n+1}=u_n
  • La suite (un)(un) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

:::Méthode: On étududie le signe de un+1unu_{n+1}-u_n
(1) Si pour tout entier n, un+1un0u_{n+1}-u_n \leq 0 ; alors la suite (un)(u_n) est croissante.
(2) Si pour tout entier n, un+1un0u_{n+1}-u_n \geq 0 ; alors la suite (un)(u_n) est décroissante.
:::

Remarque: Autre méthode si la suite est strictement positive, on peut comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} et 11

Exemples:
Montrer que la suite de terme générale un=3n(n+1)2u_n=\frac{3^n}{(n+1)^2} est strictement croissante pour tout n1n \geq 1.

3) limites de suites

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