La fonction exponentielle en Terminale S

I. Généralités.

Théorème et définition :

Démonstration :

L'existence est admise.
On montre ici l'unicité d'une telle fonction.

Etape 1

Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur $\mathbb R$.
Posons :

$h(x)=f(x)f(-x)$

$f$ étant définie et dérivable sur $\mathbb R$, $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$.

On a alors

$h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))$

$h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)$

Or par hypothèse,

$f'=f$

Donc

$h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$

Ainsi, la fonction h est constante.
On connait une valeur de f : $f(0)=1$.
Donc

$h(0)=f(0)f(-0)=1\times 1=1$

Ainsi

$h(x)=1,\ \forall x$

Si on suppose maintenant qu'il existe $a\in \mathbb R$ tel que $f(a)=0$

Alors

$h(a)=f(a)f(-a)=0\times f(-a)=0$

Cette dernière assertion contredit le fait que $h(x)=1$ pour tout x dans $\mathbb R$.

Donc $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb R$.

Etape 2

On suppose maintenant qu'il existe deux fonctions $f$ et $g$ dérivables sur $\mathbb R$ et vérifiant

$f(0)=g(0)=1$

$f'=f\ et\ g'=g$

Posons

$k(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Cette dernière assertion a un sens car g ne s'annule pas sur $\mathbb R$ (d'après ce qui est dit plus haut).

$k$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, elle est donc dérivable sur $\mathbb R$.

On a

$k'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}=0$

car $f'=f$ et $g'=g$.

Donc $k$ est constante sur $\mathbb R$.

Or

$k(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=1$

et ce quelque soit $x\in \mathbb R$.

Ainsi, on a

$k(x)=1,\ \forall x\in \mathbb R$

Et donc

$f(x)=g(x),\ \forall x\in \mathbb R$

D'où l'unicité de la fonction $f$.

Conséquences immédiates :

• $\exp(0)=1$
• $\exp$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $\exp'(x)=\exp(x)$.
• Pour tout $x$ réel, $\exp(x)>0$
• La fonctions $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

Notation importante :

On pose maintenant : $e=\exp(1)$
Avec la calculatrice, on a

$e=2,718\ 281\ 828$

Ce nombre se détermine grâce à la relation

$e=\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

II. Propriétés algébriques.

Théorème :

Corollaire :

Pour tous réels $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$ :

• $\exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}$

• $\exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)}$

• $\exp(na)=[\exp(a)]^n,\ (n\in \mathbb Z)$

• $\exp(\frac{a}{n}) = \sqrt[n]{\exp(a)},\ (n \geq 1)$

Remarques :

Pour $n\in \mathbb Z$, on peut exprimer $\exp(n)$ en fonction de $e$ :

$\exp(n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n=e^n\ \ \ \ \ (*)$

Nous utiliserons la notation à partir de maintenant :

$\exp(x)=e^x,\ \forall x\in \mathbb R$

Cette convention est légitime puisqu'elle prolonge l'égalité précédente $(*)$.
De plus, les résultats du théorème précédent et du corollaire produisent des formules conformes à l'utilisation de la notation puissance.

III. Propriétés asymptotiques.

Théorème :

Interprétations géométriques :

La courbe $\mathcal C_{\exp}$ admet en $-\infty$ l'axe $(Ox)$ comme asymptote.
Elle admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction $(Oy)$

IV. Courbe représentative.

Grâce aux propriétés précédentes, on peut tracer la courbe représentative $\mathcal C_{\exp}$ de la fonction exponentielle.

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