La fonction exponentielle en Terminale S

I. Généralités.

Théorème et définition :

Il existe une unique fonction ff, dérivable sur R\mathbb R telle que

f=ff'=f

f(0)=1f(0)=1

On la nomme fonction exponentielle ; elle sera notée exp()\exp()

Démonstration :

L'existence est admise.
On montre ici l'unicité d'une telle fonction.

Etape 1

Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R\mathbb R.
Posons

h(x)=f(x)f(x)h(x)=f(x)f(-x)

ff étant définie et dérivable sur R\mathbb R, hh est définie et dérivable sur R\mathbb R.
On a alors

h(x)=f(x)f(x)+f(x)(f(x))h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))

h(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)

Or par hypothèse,

f=ff'=f

Donc

h(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)=0h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0

Ainsi, la fonction h est constante.
On connait une valeur de f : f(0)=1f(0)=1.
Donc

h(0)=f(0)f(0)=1×1=1h(0)=f(0)f(-0)=1\times 1=1

Ainsi

h(x)=1, xh(x)=1,\ \forall x

Si on suppose maintenant qu'il existe aRa\in \mathbb R tel que f(a)=0f(a)=0

Alors

h(a)=f(a)f(a)=0×f(a)=0h(a)=f(a)f(-a)=0\times f(-a)=0

Cette dernière assertion contredit le fait que h(x)=1h(x)=1 pour tout x dans R\mathbb R.
Donc ff ne s'annule pas sur R\mathbb R.

Etape 2

On suppose maintenant qu'il existe deux fonctions ff et gg dérivables sur R\mathbb R et vérifiant

f(0)=g(0)=1f(0)=g(0)=1

f=f et g=gf'=f\ et\ g'=g

Posons

k(x)=f(x)g(x)k(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

Cette dernière assertion a un sens car g ne s'annule pas sur R\mathbb R (d'après ce qui est dit plus haut).
kk est un quotient de fonctions dérivables sur R\mathbb R, elle est donc dérivable sur R\mathbb R.

On a

k(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2=0k'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}=0

car f=ff'=f et g=gg'=g.

Donc kk est constante sur R\mathbb R.
Or

k(0)=f(0)g(0)=1k(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=1

et ce quelque soit xRx\in \mathbb R.

Ainsi, on a

k(x)=1, xRk(x)=1,\ \forall x\in \mathbb R

Et donc

f(x)=g(x), xRf(x)=g(x),\ \forall x\in \mathbb R

D'où l'unicité de la fonction ff.

Conséquences immédiates :

  • exp(0)=1\exp(0)=1
  • exp\exp est dérivable sur R\mathbb R et exp(x)=exp(x)\exp'(x)=\exp(x).
  • Pour tout xx réel, exp(x)>0\exp(x)>0
  • La fonctions exp\exp est strictement croissante sur R\mathbb R.

Notation importante :

On pose maintenant : e=exp(1)e=\exp(1)
Avec la calculatrice, on a

e=2,718 281 828e=2,718\ 281\ 828

Ce nombre se détermine grâce à la relation

e=limn+(1+1n)ne=\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

II. Propriétés algébriques.

Théorème :

Pour tous réels aa et bb :

exp(a+b)=exp(a)×exp(b)\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)

Corollaire :

Pour tous réels aa et bb et pour tout entier relatif nn :

  • exp(ab)=exp(a)exp(b)\exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}

  • exp(b)=1exp(b)\exp(-b)=\frac{1}{\exp(b)}

  • exp(na)=[exp(a)]n, (nZ)\exp(na)=[\exp(a)]^n,\ (n\in \mathbb Z)

  • exp(an)=exp(a)n, (n1)\exp(\frac{a}{n}) = \sqrt[n]{\exp(a)},\ (n \geq 1)

Remarques :

Pour nZn\in \mathbb Z, on peut exprimer exp(n)\exp(n) en fonction de ee :

exp(n)=exp(n×1)=[exp(1)]n=en     ()\exp(n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n=e^n\ \ \ \ \ (*)

Nous utiliserons la notation à partir de maintenant :

exp(x)=ex, xR\exp(x)=e^x,\ \forall x\in \mathbb R

Cette convention est légitime puisqu'elle prolonge l'égalité précédente ()(*).
De plus, les résultats du théorème précédent et du corollaire produisent des formules conformes à l'utilisation de la notation puissance.

III. Propriétés asymptotiques.

Théorème :

  • limx+ex=+\lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty

  • limxex=0\lim_{x\to -\infty} e^x=0

  • limx+exx=+\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty

Interprétations géométriques :

La courbe Cexp\mathcal C_{\exp} admet en -\infty l'axe (Ox)(Ox) comme asymptote.
Elle admet en ++\infty une branche parabolique de direction (Oy)(Oy)

IV. Courbe représentative.

Grâce aux propriétés précédentes, on peut tracer la courbe représentative Cexp\mathcal C_{\exp} de la fonction exponentielle.