Formulaire : Résumé Terminale S

Un résumé des notions fondamentales à connaître pour le Bac.

Complexes

M(x,y)M(x,y) dans (O;i,j)(O; \vec{i},\vec{j}) a pour affixe z:z=x+iyz : z = x + i y dans C\mathbb{C}

Le conjugué de z est : z¯=xiy\bar{z} = x - iy

Module de z:z=zz¯=x2+y2z : |z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}

Forme trigonométrique : z=ρ(cosθ+isinθ)z = \rho(\cos \theta + i\sin \theta)θ=angle(i,OM)[2π]\theta = angle (\vec{i}, \overrightarrow{OM}) [2\pi]

Forme exponentielle : z=ρeiθz = \rho e^{i\theta} (avec z=ρ|z| = \rho et θ\theta = angle (i,OM)(\vec{i}, \overrightarrow{OM}) = argument de zz)

Conjugué de zz : z¯=ρeiθ\bar{z} = \rho e^{-i\theta}

Soient AA et BB d'affixes zAz_A zBz_B alors AB\overrightarrow{AB} a pour affixe zBzAz_B - z_A et AB=zBzAAB = |z_B - z_A|

Propriétés des modules

z¯=z|\bar{z}| = |z| ; 1z=1z\bigg|\dfrac{1}{z}\bigg| = \dfrac{1}{|z|} ; zz=zz|zz'| = |z||z'|

Propriétés des arguments

argzz=argz+argz[2π]\arg{zz'}= \arg z + \arg z' [2\pi]

arg(zz)=argzargz[2π]\arg \bigg(\dfrac{z}{z'}\bigg) = \arg z - \arg z' [2\pi]

Transformations usuelles

Soit une transformation telle que M(z)M(z)M(z) \rightarrow M'(z')

  • Translation de vecteur u\vec{u} d'affixe t:z=z+tt : z' = z + t

  • Homothétie de centre Ω\Omega d'affixe ω\omega et de rapport k:zω=k(zω)k : z' - \omega = k (z- \omega)

  • Rotation de centre Ω\Omega d'affixe ω\omega et d'angle θ:zω=eiθ(zω)\theta : z' - \omega = e^{i\theta} (z- \omega)

EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C\mathbb{C}

Soit l'équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 et le discriminant Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac

  • si Δ>0\Delta > 0 alors 2 solutions réelles :

z1=b+Δ2az_1 =\dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} ; z2=bΔ2az_2 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}

et z1z2=caz_1z_2 = \dfrac{c}{a}; z1+z2=baz_1 + z_2 =\dfrac{-b}{a}

  • si Δ=0\Delta = 0 alors 1 solution réelle : z0=b2az_0 = \dfrac{-b}{2a}

  • si Δ<0\Delta < 0 alors 2 solutions complexes :

z1=b+iΔ2az_1 =\dfrac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a}; z2=biΔ2az_2 = \dfrac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}

et z1z2=caz_1z_2 = \dfrac{c}{a}; z1+z2=baz_1 + z_2 = \dfrac{-b}{a}

  • si Δ0\Delta \neq 0 alors az2+bz+c=a(zz1)(zz2)az^2 + bz + c = a(z - z_1) (z - z_2) et si Δ=0\Delta = 0 alors : az2+bz+c=a(zz0)2az^2 + bz + c = a(z - z_0 )^2

IDENTITES REMARQUABLES

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3 ab^2 + b^3

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2 )

(ab)3=a33a2b+3ab2b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3 ab^2 - b^3

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2 )

(a+b)n=an+(n1)an1b+...+(nk)ankbk+....+(nn1)abn1+bn(a + b)^n = a^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b+ ... + \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k + .... + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} ab^{n-1}+b^n

SUITES

  • Suites arithmétiques de raison rr et premier terme u0u_0 Alors : un+1=un+ru_{n +1} = u_n + r ou un=u0+nru_n = u_0 + nr

  • Somme de nn termes consécutifs de la suite == "nbre de termes" • "1erterme"+"dernier"2\dfrac{"1^{er}terme" + "dernier"}{2}

En particulier : 1+2+3+.........+n=n(n+1)21+ 2 + 3+ .........+ n = \dfrac {n(n +1)}{2}

  • Suites géométriques de raison qq et premier terme u0u_0 alors un+1=q.unu_{n +1} = q.u_n ou un=u0qnu_n = u_0q^n

Somme de nn termes consécutifs de la suite = "1erterme""1^{er} terme"
1qnombredetermes1q\dfrac{1- q^{nombre de termes}}{1- q} avec q1q \neq 1

En particulier : 1+x+x2+x3+.........+xn=1xn+11x1+ x + x^2 + x^3 + .........+ x^n = \dfrac{1- x^{n +1}}{1 - x} (x1)(x \neq 1)

FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE

e0=1e^0 =1 ; ea+b=eaebe^{a +b} = e^ae^b ; eab=eaebe^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} ; (ea)b=eab(e^a )^b = e^{ab} ; lne=1\ln{e} =1 ;

ln1=0\ln{1}= 0 ; lnab=lna+lnb\ln{ab} = \ln {a} + \ln{b} ;lnab=lnalnb\ln{\dfrac{a}{b}}= ln{a} - ln{b}

ax=exlnaa^x = e^{x \ln{a}} ; lnax=xlna\ln{a^x} = x \ln{a} ; y=exx=lnyy= e^x \Longleftrightarrow x = \ln{y}

LIMITES USUELLES DE FONCTIONS

limx+lnx\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln{x} =+= +\infty

limx+ex\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x =+= +\infty

limxex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x =0= 0

limx+exx\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x} =+= +\infty

limxxex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} xe^x =0= 0

limx+lnxx\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln{x}}{x} =0= 0

limx+exxn\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} =+= +\infty

limx+lnxxn\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln{x}}{x^n} =0= 0

limxxnex\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^ne^x =0= 0

limx+xnex\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^ne^{-x} =0= 0

limx0lnx\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln{x} == -\infty

limx0xlnx\lim\limits_{x \rightarrow 0} x\ln{x} =0= 0

limx0sinxx\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin{x}}{x} =1= 1

limx01cosxx\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos{x}}{x} =0= 0

limx0ln1+xx\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln{1+ x}}{x} =1= 1

limx0ex1x\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x -1}{x} =1= 1

DERIVEES PRIMITIVES

f(x)f(x) f(x)f'(x)
kk 00
1x\dfrac{1}{x} 1x2\dfrac{-1}{x^2}
lnx\ln{x} 1x\dfrac{1}{x}
cosx\cos{x} sinx-\sin x
xx 11
1xn\dfrac{1}{x^n} nNn \in \mathbb{N} nxn+1\dfrac{-n}{x^{n+1}}
exe^x exe^x
sinx\sin{x} cosx\cos x
xnx^n xn1x^{n-1}
x\sqrt{x} 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
axa^x axlnaa^x \ln{a}
tanx\tan{x} 1cos2x\dfrac{1}{\cos^2{x}}

Opérations et application des dérivées

(u+v)=u+v( u + v)' = u' + v' (ku)=ku(k u)' = k u'
(uv)=uv+uv(u v)' = u' v + u v' (1u)=uu2\bigg(\dfrac{1}{u}\bigg)' = \dfrac{-u'}{u^2}
(u)=u2u\big(\sqrt{u'}\big)'= \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} (un)=nuun1(u^n)'= nu'u^{n-1}
(uv)=uvuvv2\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)' = \dfrac{u'v -uv'}{v^2} (vu)=u.vu(v \circ u)' = u'.v \circ u
(eu)=ueu(e^u)'=u'e^u lnu=uu\ln{u}' =\dfrac{u}{u'}
  • Equation de la tangente à la courbe CfCf en A(a;f(a)):y=f(a)(xa)+f(a)A(a; f (a)) : y = f '(a) (x - a) + f (a)

CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Si FF primitive ce ff alors :

abf(t)dt=F(b)F(a)\int_{a}^{b} f(t)d_t = F(b)-F(a) et si g(x)=axf(t)dtg(x)=\int_{a}^{x} f(t)d_t alors gx)=f(x)g'x)=f(x)

abf(t)dt=baf(t)dt\int_{a}^{b} f(t)d_t = -\int_{b}^{a} f(t)d_t

acf(t)dt=abf(t)dt+bcf(t)dt\int_{a}^{c} f(t)d_t = \int_{a}^{b} f(t)d_t + \int_{b}^{c} f(t)d_t

abf(t)dt=αabf(t)dt+βbag(t)dt\int_{a}^{b} f(t)d_t = \alpha \int_{a}^{b} f(t)d_t + \beta\int_{b}^{a} g(t)d_t

si aba \leqslant b et f0f \geqslant 0 alors

abf(t)dt0\int_{a}^{b} f(t)d_t \geqslant 0 ; si aba \leqslant b et fgf \leqslant g alors aabf(t)dtabg(t)dta \int_{a}^{b} f(t)d_t \leqslant \int_{a}^{b} g(t)d_t

si aba \leqslant b et mfMm \leqslant f \leqslant M alors m(ba)abf(t)dtM(ba)m(b - a) \leqslant \int_{a}^{b} f(t)d_t \leqslant M(b-a)

Intégration par parties

abu(t)v(t)dt=[u(t)v(t)]ababu(t)v(t)dt\int_{a}^{b} u(t)v'(t) d_t= \bigg[u(t)v(t)\bigg]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(t)v(t) d_t

Equations différentielles

Les solutions de y=ay+by'= ay + b sont des fonctions f(x)=Ceaxbaf (x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}CC est un réel.

Probabilités

Dénombrements

n!=1×2×3××nn! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times n avec 0!=10! = 1 et (n+1)!=n!×(n+1)(n+1)! = n! \times (n+1).

Le nombre de combinaisons de pp éléments pris parmi nn est noté (np)\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}

(np)=n(n1)...(np+1)p!=n!p!(np)!\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} ; (np)=(nnp)\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-p \end{pmatrix} ; (np)=(n1np)+(n1p)\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ n-p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ p \end{pmatrix} ; (n1)=n\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = n

Développement

(a+b)n=an(n1)an1b+...+(nk)ankbk+...+bn(a+b)^n = a^n \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}a^{n-1}b+...+ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}+...+b^n

Généralités :

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ; P(A¯)=1P(A)P(\bar{A}) =1- P(A) ; P(Ω)=1P(\Omega) =1 ; P()=0P( \oslash) = 0

En cas d'équiprobabilité :
P(A)=nombredélémentsdeAnombredélémentsdeΩP(A) = \dfrac{nombre d'éléments de A}{nombre d'éléments de \Omega} = "nombredecasfavorables""nombredecaspossibles"\dfrac{"nombre de cas favorables"}{"nombre de cas possibles"}

Proba de BB sachant AA :PA(B)=P(AB)P(A)P_A (B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}; si AA et BB sont indépendants P(AB)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE

Formules d'addition

  • cos(a+b)=cosacosbsinasinb\cos{(a+b)} = \cos {a} \cos{b} - \sin{a} \sin{b}

  • cos(ab)=cosacosb+sinasinb\cos{(a-b)} = \cos{a} \cos{b} + \sin{a} \sin{b}

  • sin(a+b)=sinacosb+cosasinb\sin {(a+b)} = \sin{a} \cos{b} + \cos{a} \sin{b}

  • sin(ab)=sinacosbcosasinb\sin{(a-b)} = \sin{a} \cos{b} - \cos{a} \sin{b}

Formules de duplication

cos(2a)=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a\cos(2a) = \cos^2{a} - \sin^2{a} = 2\cos^2{a}-1 = 1 - 2\sin^2 {a}

sin(2a)=2sinacosa\sin{(2a)} = 2\sin{a}\cos{a}

Valeurs remarquables

00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} π\pi
sin\sin 00 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt {2}}{2} 32\dfrac{\sqrt {3}}{2} 11 00
cos\cos 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt {2}}{2} 12\dfrac{1}{2} 00 1-1
tan\tan 00 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} n'existe pas 00

Produit scalaire

u\vec{u} et v\vec{v} tels que u=OA\vec{u} = \overrightarrow{OA} ; v=OB\vec{v} = \overrightarrow{OB} ; soit θ=angle(OA,OB)\theta = angle (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) alors
uv=OAOB=OA×OB×cosθ\vec{u} \bullet \vec{v} = \overrightarrow{OA} \bullet \overrightarrow{OB} = OA \times OB \times cos \theta

si u(x;y)\vec{u}(x;y) et v(x;y)\vec{v}(x';y') alors uv=xx+yy\vec{u} \bullet \vec{v} = xx'+yy'

si OB\overrightarrow{OB} se projette en OH\overrightarrow{OH} sur OA\overrightarrow{OA} alors

  • uv=OA×OH\vec{u} \bullet \vec{v} = OA \times OH (si les vecteurs sont de même sens)
  • uv=OA×OH\vec{u} \bullet \vec{v} = -OA \times OH (si sens contraires)

u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux uv=0\vec{u} \bullet \vec{v} = 0

Al Khashi :

a2=b2+c22bccosA^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\widehat{A}}

Théorème de la médiane :

c2+b2=2AI2+a22c^2 + b^2 = 2AI^2 + \dfrac{a^2}{2}

Aire du triangle :

S=12bcsinA^S =\dfrac{1}{2}bc \sin{\widehat{A}}

Formule des sinus :

asinA^=bsinB^=csinC^\dfrac{a}{\sin{\widehat{A}}}=\dfrac{b}{\sin{\widehat{B}}}=\dfrac{c}{\sin{\widehat{C}}}

Equation de droite :

ax+by+c=0ax + by + c = 0 équation de DD qui admet pour vecteur directeur u(b;a)\vec{u} (-b;a) et normal ("\perp") v(a;b)\vec{v} (a;b).

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