Le second degré (1ère partie)

I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)

1. Définition et forme canonique

Remarque : Cette expression est aussi appelée trinôme.

On développe :
$3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)$
Donc $3(x - 1)^2 + 1$ est la forme canonique de $f(x)$.

Remarque : On a : $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$

2. Variations et représentation graphique

Si $a > 0$	Si $a < 0$

Remarque : La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$.

II. La résolution des équations du second degré

Dans tout le paragraphe, on considère l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels donnés et $a$ non nul.

1. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré

Le discriminant va nous permettre de déterminer les solutions (si elles existent) de l'équation.

• $2x^2 - x - 6 = 0$, on a :

$\left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = -1 \\ c = -6 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49$

Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{8}{4} = 2$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}$

• $9x^2 - 6x + 1 = 0$, on a :
  $\left\{ \begin{array}{l} a = 9 \\ b = -6 \\ c = 1 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0$

Comme $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle :

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

• $x^2 + 3x + 10 = 0$, on a :
  $\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 10 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = 9 - 40 = -31$

Comme $\Delta < 0$, l'équation n'admet pas de solution réelle.

2. Interprétation graphique

Les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont, lorsqu'elles existent, les abscisses $x$ des points où la parabole $\mathcal P$ de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ coupe l'axe des abscisses.

	$a > 0$	$a < 0$
Cas où $\Delta > 0$ : $\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses en deux points distincts d'abscisses respectives $x_1$ et $x_2$.
Cas où $\Delta = 0$ : $\mathcal P$ est tangente à l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$.
Cas où $\Delta < 0$ : $\mathcal P$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

Le second degré (2ème partie)

I. Factorisation de $ax² + bx +c$

On commence par rechercher les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de l'équation : $2x^2 - x - 6 = 0$, on a :

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 49$

Les deux racines sont :

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = 2$ et $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = - \frac{3}{2}$

Donc : $2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2})$

$9x^2 - 6x + 1$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0$

Comme $\Delta = 0$, le polynôme admet une unique racine "double" :

$x_0 = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{1}{3}$

Donc : $9x^2 - 6x + 1 = 9(x - \frac{1}{3})²$

$x^2 + 3x + 10$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = -31$

Comme $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

II. Etude du signe de $ax² + bx +c$

Cas où $\Delta > 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses, en changeant de signe, en deux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$.

Cas où $\Delta = 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ a un point de contact avec l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$, sans changer de signe.

Cas où $\Delta < 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ est entièrement située de l'un des côtés de l'axe des abscisses.

1. On a vu que : $\Delta = 49$ et que : $x_1 = 2$ et $x_2 = - \frac{3}{2}$.
   On applique le théorème n°2 avec $a = 2 > 0$.
   

2. On lit les solutions à l'aide du tableau : $S = ]-\infty ; 2[ \cup ]-\frac{3}{2} ; +\infty[$

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