Les pourcentages

I. Pourcentages et proportions

1) Calculer une proportion

Définition n°1 :
On appelle proportion $p$ d'éléments d'une partie d'un ensemble, le quotient du nombre d'éléments de la partie qui nous intéresse par le nombre total d'éléments de l'ensemble.

Le quotient $p$ est un nombre compris entre $0$ et $1$ , mais la plupart du temps, on exprimera le résultat en pourcentage. Il faudra alors multiplier $p$ par 100.

Exercice :
Lors d'une élection, il y avait $32$ $450$ inscrits sur les listes électorales. Il y a eu $23$ $364$ votants et le candidat A a obtenu $12$ $301$ voix.

Quel est le pourcentage de participation ? En déduire le taux d'abstention.
Calculer le résultat du candidat A (en pourcentage des votants).

Résolution

Il y a $23\ 364$ votants (partie qui nous intéresse) parmi les $32\ 450$ inscrits (ensemble). On calcule :
$23\ 364/32\ 450 = 0,72$ . On obtient en pourcentage : $0,72 \times 100 = 72$ .
Conclusion : Le pourcentage de participation est de $72$ %.
On en déduit le taux d'abstention : $100 - 72 = 28$ .

Il y a $12\ 301$ voix pour le candidat A parmi les $23\ 364$ votants.
On calcule : $12\ 301 / 23\ 364 \approx 0,5265$
Conclusion : Le candidat A a obtenu environ $52,65$ % des voix.

2) Calculer un pourcentage

Propriété n°1 :
Calculer $a$ % d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $\frac{a}{100}$ .

Exercice :
Dans un lycée, le club musique compte $40$ élèves dont $60$ % de garçons. Le club théâtre compte, lui, $20$ élèves dont $40$ % de garçons.
Sachant qu'aucun élève n'appartient aux deux clubs à la fois, calculer le pourcentage de garçons lorsque les deux groupes sont réunis.

Résolution
Il faut d'abord calculer le nombre de garçons dans chacun des deux clubs :

Dans le club musique : il y a $60$ % de garçons parmi les 40 élèves. On calcule :
$40 \times \frac{60}{100} = 24$ . Il y a $24$ garçons dans le club musique.

Dans le club théâtre :
$20 \times \frac{40}{100} = 8$ . Il y a $8$ garçons dans le club théâtre.

On peut maintenant calculer la proportion de garçons : ils sont 32 parmi 60 élèves, on calcule :
$\frac{32}{60} \approx 0,53$ .
Conclusion
Il y a environ $53$ % de garçons dans les clubs.

II. Taux d'évolution

1) Appliquer un taux d'évolution

Propriété n°2 :

Augmenter une valeur de $t$ %, revient à multiplier cette valeur par $(1 + \frac{t}{100})$ .
Diminuer une valeur de $t$ %, revient à multiplier cette valeur par $(1 - \frac{t}{100})$ .

Définition n°2 :
Les nombres $(1 + \frac{t}{100})$ et $(1 - \frac{t}{100})$ sont appelés les coefficients multiplicateurs.

Pour une augmentation, le coefficient multiplicateur est plus grand que $1$ et pour une diminution, celui-ci est compris entre $0$ et $1$ .

Exercice :
Un article qui se vendait au début de l'été $35$ € a vu son prix augmenter de $20$ % pour la rentrée.
Au moment des soldes de janvier, le prix de l'article subit une baisse de $25$ %.

Quel est le prix de l'article à la rentrée ?
Quel est le nouveau prix de l'article au moment des soldes ?

Résolution

Le prix augmente de $20$ %, ce qui revient à multiplier le prix par : $1 + \frac{20}{100} = 1,2$ .
On obtient : $35 \times 1,2 = 42$ .
Conclusion
Le prix de l'article à la rentrée est de $42$ €.

Le prix diminue de $25$ %, ce qui revient à multiplier le prix par : $1 - \frac{25}{100} = 0,75$ .
On obtient : $42 \times 0,75 = 31,5$ .
Conclusion
Le prix de l'article soldé est de $31,50€$ .

2) Calculer un taux d'évolution

Définition n°3 :
Lorsqu'une grandeur évolue d'une valeur de départ $V_0$ à une valeur d'arrivée $V_1$ , on appelle taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ , le rapport : $\frac{V_1 - V_0}{V_0}$ .
Lorsqu'on l'exprime en pourcentage, le taux d'évolution est égal à : $t$ (%) $= \frac{V_1 - V_0}{V_0} \times 100$ .

Si la valeur augmente, $t$ est positif et peut dépasser $100$ %, si la valeur diminue, alors $t$ est négatif.

Exercice :
Voici l'évolution de la population de la ville de Nancy au cours de différents recensements :
En $1968$ , il y avait $123\ 428$ habitants, en $1990$ , il y en avait $99\ 351$ et en $2014$ la ville comptait $104\ 321$ habitants.

Calculer le taux d'évolution du nombre d'habitants entre $1968$ et $1990$ .
Même question entre $1990$ et $2014$ .

Résolution

La valeur de départ est $V_0 = 123\ 428$ , et la valeur d'arrivée est : $V_1 = 99$ $351$ .
On calcule : $\frac{99 351 - 123 428}{123 428} \approx -0,1951$ .
Conclusion
La population a donc baissé d'environ $19,51$ % entre $1968$ et $1990$ .

De même, on calcule :
$\frac{104 321 - 99351}{99 351} \approx 0,05$ .
Conclusion
La population a donc augmenté d'environ $5$ % entre $1990$ et $2014$ .

III. Evolutions successives, évolution réciproque

1) Evolutions successives

Propriété n°3 :
Si une grandeur subit plusieurs évolutions successives, alors le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondants aux différentes évolutions.

Attention ! Les taux successifs ne s'ajoutent ou ne se soustraient jamais. Par exemple, une augmentation de $15$ % suivie d'une baisse de $5$ % ne donne pas une augmentation de $10$ %.

Exercice :
Au 1er janvier, un article est affiché au prix de $85$ €.
Entre le 1er janvier et le 30 juin le prix de cet article a augmenté de $12$ % puis diminué de $8$ %.

Calculer le taux d'évolution du prix de cet article entre le 1er janvier et le 30 juin.
Quel est le prix (arrondi au centime) de cet article au 1er juillet ?

Résolution

On calcule :
$(1 + \frac{12}{100}) \times (1 - \frac{8}{100}) = 1,12 \times 0,92 = 1,0304 = 1 + \frac{3,04}{100}$ .
Le coefficient multiplicateur est supérieur à $1$ , il s'agit d'une augmentation (voir II.).
Conclusion
Entre le 1er janvier et le 30 juin, le prix a augmenté de $3,04$ %.

Il suffit alors de multiplier le prix par le coefficient multiplicateur global, on obtient :
$85 \times 1,0304 \approx 87,58$
Conclusion
Le prix de l'article au 1er juillet est de $87,58$ €.

2) Evolution réciproque

On s'intéresse ici à une grandeur qui a évolué d'une valeur de départ $V_0$ à une valeur d'arrivée $V_1$ . On connaît (ou on peut retrouver par le calcul, voir II.) le taux d'évolution $t$ % de $V_0$ vers $V_1$ .
On se demande alors quel taux d'évolution faudra-t-il appliquer à $V_1$ pour retrouver $V_0$ .

Définition n°4 :
On appelle taux d'évolution réciproque, le taux d'évolution de $V_1$ vers $V_0$ .

Propriété n°4 :
Le coefficient multiplicateur correspondant à une évolution réciproque (de $V_1$ vers $V_0$ ) est égal à l'inverse du coefficient multiplicateur correspondant à l'évolution de départ (de $V_0$ vers $V_1$ ).

Exercice
Un magasin a vu ses ventes baisser de $11$ % sur l'année $2017$ .
Quel doit être le pourcentage d'évolution des ventes entre l'année $2017$ et l'année $2018$ pour que les ventes du magasin retrouvent leur valeur initiale ?

Résolution
La baisse de $11$ % correspond au coefficient multiplicateur : $1 - \frac{11}{100} = 0,89$ .
Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est égal à : $\frac{1}{0,89} \approx 1,1236 = 1 + \frac{12,36}{100}$ .
Conclusion
Pour que les ventes du magasin retrouvent leur valeur initiale en $2018$ , elles doivent augmenter de $12,36$ %

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