Le second degré (1ère partie)

I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)

1. Définition et forme canonique

Définition n°1 :
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=ax²+bx+cf(x) = ax² + bx + c, avec aa, bb et cc des réels donnés, aa non nul.

Remarque : Cette expression est aussi appelée trinôme.

Théorème n°1 :
Toute fonction polynôme du second degré, définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (avec aa, bb et cc réels, aa non nul) peut s'écrire sous la forme :
f(x)=a(xα)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, avec α\alpha et β\beta deux réels.
Cette expression est appelée forme canonique de f(x)f(x).

Exemple :
Soit le polynôme du second degré : f(x)=3x26x+4f(x) = 3x^2 - 6x + 4.
Vérifions que sa forme canonique est : 3(x1)2+13(x - 1)^2 + 1.

On développe :
3(x1)2+1=3(x22x+1)+1=3x26x+3+1=3x26x+4=f(x)3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)
Donc 3(x1)2+13(x - 1)^2 + 1 est la forme canonique de f(x)f(x).

Remarque : On a : α=b2a\alpha = \frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta = f(\alpha)

2. Variations et représentation graphique

Si a>0a > 0 Si a<0a < 0
tableau de variation pour a>0 tableau de variation pour a<0
courbe représentative pour a>0 courbe représentative pour a<0

Remarque : La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta).

II. La résolution des équations du second degré

Dans tout le paragraphe, on considère l'équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avec aa, bb et cc des réels donnés et aa non nul.

1. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré

Définition n°2 :
On appelle discriminant du polynôme du second degré ax2+bx+cax^2 + bx + c et on note Δ\Delta (lire "delta") le nombre défini par :

Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac

Le discriminant va nous permettre de déterminer les solutions (si elles existent) de l'équation.

Théorème n°2 :
Soit Δ\Delta le discriminant du polynôme du second degré ax2+bx+cax^2 + bx + c.

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 admet deux solutions réelles :
    x1=b+Δ2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=bΔ2ax_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

  • Si Δ=0\Delta = 0, alors l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 admet une unique solution réelle :
    x0=b2ax_0 = \frac{-b}{2a}

  • Si Δ<0\Delta < 0, alors l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 n'admet pas de solution réelle.

Vocabulaire :
Les solutions de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 sont appelées les racines du polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c.

Exemples :
Résoudre les équations suivantes :

  • 2x2x6=02x^2 - x - 6 = 0
  • 9x26x+1=09x^2 - 6x + 1 = 0
  • x2+3x+10=0x^2 + 3x + 10 = 0
  • 2x2x6=02x^2 - x - 6 = 0, on a :

{a=2b=1c=6\left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = -1 \\ c = -6 \end{array} \right.

Δ=b24ac=(1)24×2×(6)=1+48=49\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49

Comme Δ>0\Delta > 0, l'équation admet deux solutions :

x1=b+Δ2a=(1)+492×2=84=2x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{8}{4} = 2 et x2=bΔ2a=(1)492×2=64=32x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}

  • 9x26x+1=09x^2 - 6x + 1 = 0, on a :
    {a=9b=6c=1\left\{ \begin{array}{l} a = 9 \\ b = -6 \\ c = 1 \end{array} \right.

Δ=b24ac=(6)24×9×1=3636=0\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0

Comme Δ=0\Delta = 0, l'équation admet une unique solution réelle :

x0=b2a=(6)2×9=618=13x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}

  • x2+3x+10=0x^2 + 3x + 10 = 0, on a :
    {a=1b=3c=10\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 10 \end{array} \right.

Δ=b24ac=324×1×10=940=31\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = 9 - 40 = -31

Comme Δ<0\Delta < 0, l'équation n'admet pas de solution réelle.

2. Interprétation graphique

Les solutions de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 sont, lorsqu'elles existent, les abscisses xx des points où la parabole P\mathcal P de la fonction f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c coupe l'axe des abscisses.

a>0a > 0 a<0a < 0
Cas où Δ>0\Delta > 0 : P\mathcal P coupe l'axe des abscisses en deux points distincts d'abscisses respectives x1x_1 et x2x_2. courbe pour a et delta positifs courbe pour a < 0 et delta positif
Cas où Δ=0\Delta = 0 : P\mathcal P est tangente à l'axe des abscisses au point d'abscisse x0x_0. courbe pour a > 0 et delta nul courbe pour a < 0 et delta nul
Cas où Δ<0\Delta < 0 : P\mathcal P ne coupe pas l'axe des abscisses. courbe pour a > 0 et delta négatif courbe pour a et delta négatifs

Le second degré (2ème partie)

I. Factorisation de ax2+bx+cax^2 + bx +c

Théorème n°1 :
Soit ax²+bx+cax² + bx +c un polynôme du second degré. On note Δ\Delta son discriminant.

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c admet deux racines réelles x1x_1 et x2x_2 et peut être factorisé : ax²+bx+c=a(xx1)(xx2)ax² + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c admet une unique racine réelle x0x_0 et peut être factorisé : ax²+bx+c=a(xx0)²ax² + bx + c = a(x - x_0)².
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors ax2+bx+cax^2 + bx + c n'admet pas de racine réelle et ne peut pas être factorisé sur R\mathbb{R}.

Exemples :
Factoriser, lorsque cela est possible, les trinômes suivants :

  • 2x2x62x^2 - x - 6
  • 9x26x+19x^2 - 6x + 1
  • x2+3x+10x^2 + 3x + 10

On commence par rechercher les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de l'équation : 2x2x6=02x^2 - x - 6 = 0, on a :

Δ=(1)24×2×(6)=49\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 49

Les deux racines sont :

x1=(1)+492×2=2x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = 2 et x2=(1)492×2=32x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = - \frac{3}{2}

Donc : 2x2x6=2(x2)(x+32)2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2})

9x26x+19x^2 - 6x + 1 : effectuons le calcul du discriminant.

Δ=(6)24×9×1=0\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0

Comme Δ=0\Delta = 0, le polynôme admet une unique racine "double" :

x0=(6)2×9=13x_0 = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{1}{3}

Donc : 9x26x+1=9(x13)²9x^2 - 6x + 1 = 9(x - \frac{1}{3})²

x2+3x+10x^2 + 3x + 10 : effectuons le calcul du discriminant.

Δ=324×1×10=31\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = -31

Comme Δ<0\Delta < 0, le polynôme n'a pas de factorisation dans R\mathbb{R}.

II. Etude du signe de ax²+bx+cax² + bx +c

Théorème n°2 :
Soit ax²+bx+cax² + bx +c un polynôme du second degré. On note Δ\Delta son discriminant.

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta positif
Cas où Δ>0\Delta > 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P coupe l'axe des abscisses, en changeant de signe, en deux points d'abscisses x1x_1 et x2x_2. courbe pour a et delta positifs courbe pour a < 0 et delta positif
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta nul
Cas où Δ=0\Delta = 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P a un point de contact avec l'axe des abscisses au point d'abscisse x0x_0, sans changer de signe. courbe pour a > 0 et delta nul courbe pour a < 0 et delta nul
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors le signe de ax2+bx+cax^2 + bx + c est donné par le tableau suivant :
    tableau de signes avec delta négatif
Cas où Δ<0\Delta < 0 a>0a > 0 a<0a < 0
P\mathcal P est entièrement située de l'un des côtés de l'axe des abscisses. courbe pour a > 0 et delta négatif courbe pour a et delta négatifs

Exemple :

  1. Etudier le signe du trinôme : 2x2x62x^2 - x - 6.
  2. En déduire les solutions dans R\mathbb{R} de l'inéquation 2x²x6>02x² - x - 6 > 0.
  1. On a vu que : Δ=49\Delta = 49 et que : x1=2x_1 = 2 et x2=32x_2 = - \frac{3}{2}.
    On applique le théorème n°2 avec a=2>0a = 2 > 0.
    Imgur

  2. On lit les solutions à l'aide du tableau : S=];2[]32;+[S = ]-\infty ; 2[ \cup ]-\frac{3}{2} ; +\infty[

III. La préparation CRPE pour devenir enseignant

Vous souhaitez devenir professeur des écoles et exercer votre passion auprès des plus jeunes ? Vous découvrez ces cours sur le second degré pour Première ES et souhaitez mettre toutes les chances de votre côté pour préparer correctement le concours ? Voici ce que vous devez savoir la préparation cpre.

Qu'est-ce que le CRPE ?

Le CRPE est le concours de recrutement de professeurs des écoles. Il permet de devenir professeur des écoles en maternelle ou en élémentaire. C'est un concours académique organisé par l'Education Nationale et qui peut se préparer en présentiel ou en ligne.

Préparer le CRPE

La préparation du concours, comme pour les autres préparation d'examens, a été perturbée par la crise sanitaire actuelle. Il a fallu repenser les offres et les modalités de formation dans un contexte où les réunions physiques sont devenues de plus en plus rares.
Les formations en présentielles ont en effet peu à peu laissé place aux préparations en ligne pour permettre une continuité de l'activité. De nombreux organismes de formation ont ainsi du s'adapter en proposant des cours en ligne, afin de continuer de former les milliers d'aspirants enseignants qui souhaitent passer le CRPE.
Remise à niveau, tests de départ, programmes d'accompagnement personnalisés, et surtout en ligne, la préparation s'est donc adaptée et a même profiter de certaines opportunités. Les offres en ligne permettent en effet de proposer un contenu à un plus large public, sans être obligé de se déplacer ou de cibler un public dans une zone géographique précise. Un avantage pour les organismes dans le contexte actuel !

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