Formules de trigonométrie

Les formules de trigonométrie sont essentielles quel que soit le niveau (au collège en 3ème, au lycée en 1ère ou Terminale, ou encore dans le supérieur en prépa ou en MPSI), mais un rappel complet n'est pas superflu.

On a toujours besoin d'une fiche avec l'ensemble des formules, et c'est pourquoi nous vous avons préparé un rappel complet sur les formulaires de trigonométrie, avec au programme :

  • Les relations fondamentales
  • Les transformations remarquables
  • Les angles remarquables
  • Les équations trigonométriques
  • Les formules d'addition
  • Et enfin les formules de duplication

Bonne lecture et n'hésitez pas à l'imprimer comme vous le feriez avec un pdf ;)

Rendez-vous également sur le forum pour toutes vos questions sur les formules de trigonométrie.

I - Généralités sur les formules de trigo

1.1 Relations fondamentales

tan(x)=sin(x)cos(x)tan (x)= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider!

sin2(x)+cos2(x)=1\sin^2 (x)+ \cos^2(x) = 1

sin2(x)=tan2(x)1+tan2(x)\sin^2 (x)= \frac{\tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}

cos2(x)=11+tan2(x)\cos^2 (x)=\frac{1}{1 + \tan^2(x)}

1.2 Transformations remarquables

Passons maintenant aux transformations remarquables :

sin(2π+x)=sin(x)\sin (2\pi + x) = \sin (x)
cos(2π+x)=cos(x)\cos (2\pi + x) = \cos (x)
tan(2π+x)=tan(x)\tan (2\pi + x) = \tan (x)

sin(x)=sin(x)\sin(-x) = - \sin (x)
cos(x)=cos(x)\cos (-x) = \cos (x)
tan(x)=tan(x)\tan (-x) = - \tan (x)

sin(πx)=sin(x)\sin (\pi - x) = \sin(x)
cos(πx)=cos(x)\cos (\pi - x) = - \cos(x)
tan(πx)=tan(x)\tan (\pi - x) = - \tan(x)

sin(π+x)=sin(x)\sin (\pi + x) = - \sin (x)
cos(π+x)=cos(x)\cos (\pi + x) = - \cos (x)
tan(π+x)=tan(x)\tan (\pi + x) = \tan (x)

sin(π2x)=cos(x)\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos (x)
cos(π2x)=sin(x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin (x)
tan(π2x)=1tan(x)\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan (x)}

sin(π2+x)=cos(x)\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos (x)
cos(π2+x)=sin(x)\cos(\frac{\pi}{2} + x) = - \sin (x)
tan(π2+x)=1tan(x)\tan(\frac{\pi}{2} + x) = - \frac{1}{\tan (x)}

sin(3π2x)=cos(x)\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = - \cos (x)
cos(3π2x)=sin(x)\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = - \sin (x)
tan(3π2x)=1tan(x)\tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan (x)}

sin(3π2+x)=cos(x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = - \cos (x)
cos(3π2+x)=sin(x)\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin (x)
tan(3π2+x)=1tan(x)\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = - \frac{1}{\tan (x)}

1.3. Angles remarquables

xx sin(x)\sin(x) cos(x)\cos(x) tan(x)\tan(x) cotan(x)\text{cotan}(x)
0 0 1 0 /
π6\frac{\pi}{6} 12\frac{1}{2} 32\sqrt{\frac{3}{2}} 33\sqrt{\frac{3}{3}} 3\sqrt3
π4\frac{\pi}{4} 22\sqrt{\frac{2}{2}} 22\sqrt{\frac{2}{2}} 1 1
π3\frac{\pi}{3} 32\sqrt{\frac{3}{2}} 12\frac{1}{2} 32\sqrt{\frac{3}{2}} 33\sqrt{\frac{3}{3}}
π2\frac{\pi}{2} 1 0 / 0
π\pi 0 -1 0 /

1.4. Equations trigonométriques

kk appartient à Z

sin(a)=sin(b)\sin (a) = \sin(b)
alors a=b+2kπa = b + 2k\pi
ou a=πb+2kπa = \pi - b + 2k\pi

cos(a)=cos(b)\cos (a) = cos(b)
alors a=b+2kπa = b + 2k\pi
ou a=b+2kπa = -b + 2k\pi

tan(a)=tan(b)\tan (a) = \tan(b)
alors a=b+kπa = b + k\pi

II - Formules d'addition

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)\sin (a + b) = \sin (a)\cos (b) + \sin (b)\cos (a)
sin(ab)=sin(a)cos(b)sin(b)cos(a)\sin (a - b) = \sin (a)\cos (b) - \sin (b)\cos (a)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos (a + b) = \cos (a)\cos (b) - \sin (a)\sin (b)
cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos (a - b) = \cos (a)\cos (b) + \sin (a)\sin (b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1tan(a)tan(b)\tan (a + b) = \frac{\tan (a) + \tan (b)}{1 - \tan (a)\tan (b)}
tan(ab)=tan(a)tan(b)1+tan(a)tan(b)\tan (a - b) = \frac{\tan (a) - \tan (b)}{1 + \tan (a)\tan (b)}

sin(p)+sin(q)=2sin(p+q2)cos(pq2)\sin (p) + \sin (q) = 2\sin (\frac{p + q}{2})\cos (\frac{p - q}{2})
sin(p)sin(q)=2sin(pq2)cos(p+q2)\sin (p) - \sin (q) = 2\sin (\frac{p - q}{2})\cos (\frac{p + q}{2})
cos(p)+cos(q)=2cos(p+q2)cos(pq2)\cos (p) + \cos (q) = 2\cos (\frac{p + q}{2})\cos (\frac{p - q}{2})
cos(p)cos(q)=2sin(p+q2)sin(pq2)\cos (p) - \cos (q) = -2\sin (\frac{p + q}{2})\sin (\frac{p - q}{2})
tan(p)+tan(q)=sin(p+q)cos(p) cos(q)\tan (p) + \tan (q) = \frac{\sin (p + q)}{\cos (p)\ cos(q)}
tan(p)tan(q)=sin(pq)cos(p) cos(q)\tan (p) - \tan (q) = \frac{\sin (p - q)}{\cos (p)\ cos(q)}

sin(a)sin(b)=12(cos(ab)cos(a+b))\sin (a)\sin (b) = \frac{1}{2}(\cos (a - b) - \cos (a + b))
cos(a)cos(b)=12(cos(a+b)+cos(ab))\cos (a)\cos (b) = \frac{1}{2}(\cos (a + b) + \cos (a - b))
sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(ab))\sin (a)\cos (b) = \frac{1}{2}(\sin (a + b) + \sin (a - b))

III - Formules de duplication

sin(2a)=2sin(a)cos(a)\sin (2a) = 2\sin (a)\cos (a)
=2tan(a)1+tan2(a)=\frac{2\tan (a)}{1 + \tan^2 (a)}

cos(2a)=cos2(a)sin2(a)\cos (2a) = \cos^2 (a) - \sin^2 (a)
=2cos2(a)1= 2\cos^2 (a) - 1
=12sin2(a)= 1 - 2\sin^2 (a)

tan(2a)=2tan(a)1tan2(a)\tan (2a) = \frac{2\tan (a)}{1 - \tan^2 (a)}

sin2(a)=1cos(2a)2\sin^2 (a) = \frac{1-\cos(2a)}{2}
cos2(a)=1+cos(2a)2\cos^2 (a) = \frac{1+\cos (2a)}{2}
tan2(a)=1cos(2a)1+cos(2a)\tan^2 (a) = \frac{1 - \cos (2a)}{1 + \cos (2a)}

tan(a)=sin(2a)1+cos(2a)\tan(a) = \frac{\sin (2a)}{1 + \cos (2a)}
=1cos(2a)sin(2a)= \frac{1 - \cos (2a)}{\sin (2a)}

En posant t=tan(a2)t = \tan (\frac{a}{2}) :

sin(a)=2t1+t2\sin (a) = \frac{2t}{1 + t^2}
cos(a)=1t21+t2\cos (a) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
tan(a)=2t1t2\tan (a) = \frac{2t}{1 - t^2}

Formule de Moivre

(cos(a)+isin(a))n=cos(na)+isin(na)(\cos (a) + i\sin (a))^n = \cos (na) + i\sin (na)

Formules d'Euler

cos(θ)=12(eiθ+eiθ)\cos (\theta) = \frac{1}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})
sin(θ)=12i(eiθeiθ)\sin (\theta) = \frac{1}{2i}(e^{i\theta}- e^{-i\theta})


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