Les nombres relatifs en 5ème

Parmi les quatre opérations dites "de base", intéressons-nous particulièrement à la soustraction.
Il existe une infinité de soustractions possibles, par exemple $15-7=8$ ou encore $38-21=17$.
On remarque que dès qu'on soustrait un nombre plus petit, l'opération reste calculable.
Cependant, il existe des opérations sans réponse. Par exemple, quel serait le résultat de l'opération suivante :
$14-17$
Cette opération n'a pas de réponse pour l'instant, mais on peut remarquer qu'elle a le même résultat que l'opération $13-16$, ou encore $12-15$, ou encore $11-14$ ...

De la même manière, l'opération $14-17$ aura le même résultat que l'opération $0-3$. C'est cette dernière opération que l'on va réécrire.
Au lieu de laisser $0-3$, les mathématiciens ont décidé qu'il était plus judicieux d'écrire $-3$ en omettant d'écrire le 0.
Faisons leur confiance et adoptons alors cette règle.

I. Vocabulaire.

Notations

D'après ce qui a été décidé lors de l'introduction, nous pouvons donc écrire :

• $13-20=0-7=-7$
• $1-4=0-3=-3$
• $51-81=0-30=-30$

Définitions

Nous posons maintenant les définitions suivantes :

Exemple :
$1, 5, 841$ sont des nombres positifs alors que $-2, -7, -132$ sont des nombres négatifs.

Le nombre zéro

$0$ est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif !
Le mot relatif peut se comprendre comme relatif à 0, en effet : les nombres négatifs sont négatifs car ils sont inférieurs à 0 et les nombres positifs sont positifs car ils sont supérieurs à 0.
Le nombre 0 possède donc une position "centrale" dans l'ensemble des nombres.

II. Applications.

1. Repérage de points sur une droite graduée.

Sur une droite graduée,

• On peut placer un point origine O
• On peut repérer chaque point de la droite par un nombre relatif qui est sa distance à l'origine, ce nombre s'appelle l'abscisse du point.
• à chaque nombre $x$ relatif, on peut associer un point sur la droite qui sera à la distance $x$ de l'origine O.

Exemple :

• O est l'origine du repère de notre droite graduée
• L'abcisse de O est $0$ (zéro)
• L'abscisse du point A est 2,
• B est à une distance de 3 unités de l'origine O
• C a pour abscisse -1,5

Les notations suivantes sont équivalentes :

• D est à une distance de 4 unités du point d'abscisse $0$
• D a pour abscisse 4
• D(4)

Introduisons alors un peu de vocabulaire :

2. Repérage de points dans le plan.

Exemple :

$O$ est l'origine du repère. C'est aussi l'origine des droites graduées.
On a alors :

• $A$ a pour coordonnées (1 ; 1)
• (-3 ; -0,5) sont les coordonnées de $B$.
• $C$ a pour abscisse -1 et pour ordonnée -1
• $D$(4 ; -1).

3. Comparer des nombres relatifs.

Exemple :
Les deux nombres sont positifs : $17,5>16,3$
Les deux nombres sont négatifs : $-41>-280$
Les deux nombres n'ont pas le même signe : $-127<4$

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