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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Dérivabilité

- classé dans : Dérivation

Envoyé: 05.10.2005, 14:44



enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 29.11.05
C'est un exo sur les fonction.

f(x)=(1+x) racine1-x²)

1- Justifier que f est définies sur Df=[-1;1], que f est dérivable sur ]-1;1[ et déterminer les variations de f sur Df.

2- La fonction f est-elle dérivable en x=1 et en x=-1.

Le problème est que je n'arrive pas à prouver avec mes formules que f n'est pas dérivable en -1 et 1 mais je le vois sur ma calculatrice.

Aidez moi s'il vous plait!!!!!! icon_eek
C'est une question de vie ou de mort!! lol! icon_lol

Merci d'avance

modifié par : Thierry, 08 Mar 2007 - 21:43
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Envoyé: 05.10.2005, 15:05

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Salut.
En général, la racine carrée pose un problème de dérivabilité lorsque le radicande s'annule. En effet, tu sais que x -> racinex n'est pas dérivable en 0.
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Envoyé: 05.10.2005, 15:07

Constellation


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Il faut faire attention parce que les théorèmes du cours sont du type "si f et g sont dérivables, alors f*g est dérivable". Or on veut démontrer ici qu'une fonction n'est PAS dérivable : l'application directe du cours risque de nous mener droit à la catastrophe.

Supposons que f est dérivable en 1. La fonction x->1/(x+1) est dérivable en 1 donc, comme produit de deux fonctions dérivables x-> racine(1-x^2) =racine(1-x)racine(1+x) l'est aussi. Mais x->1/racine(1+x) est dérivable en 1 donc, toujours comme produit de deux fonctions dérivables, g:x->racine(1-x) l'est aussi. Enfin, h:x->x+1 est dérivable en 0 donc g o h:x-> racinex est dérivable en 0. Cela est absurde donc notre hypothèse de départ était fausse.

En x=-1, je pense que f est dérivable. f(x)=(x+1)*racine(x+1)*racine(1-x). Le troisième facteur est dérivable. Le premier s'écrit G o H (x), avec G(x)=x racinex, dérivable en 0, et H(x)=x+1, dérivable en -1.



modifié par : stephane, 05 Oct 2005 @ 15:08
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Envoyé: 05.10.2005, 15:08

Cosmos
nelly

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dernière visite: 11.12.11
Bonjour à toi aussi!!!(vous êtes nombreux à oublier cette "toute petite formule de politesse"...je ne SUPPORTE pas ça...)
Bon ceci dit, voyons ton pb!Tu n'as rien fait du tout??non, réécrire la fonction et écrire la date ça ne compte pas...
Bon...

Question 1:

La jutification est toute simple:ce qui se trouve sous la racine carré doit être STRICTEMENT positif...donc pour x = -1 ou x = 1, la racine carré est nulle et tu sais que 1-x² est du signe de a(c'est à dire le coefficient de x²)à l'extérieur de racine(ici -1 et 1)et du signe de -a à l'intérieur...donc racine(1-x²) existe pour x app/ [-1 ; 1]
Ensuite tu dérives...tu peux donner rapidement le tableau de variation
...pour dire qu'elle est dérivable sur ]-1 ; 1[tu peux utiliser la formule de variation d'accroissement(si elle s'appelle toujours comme ça et que tu l'as apprise!)...voilà!ça c'est fait...

Question 2:

ben...la formule de variation d'accroissement...y'a pas de secret!...si quelqu'un voit autre chose, n'hésitez pas car cette formule n'est jamais très sympa à manipuler!

Voilà!
Donnes moi tes résultats quand tu les auras calculé!!
Biz
Nel'
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Envoyé: 05.10.2005, 16:24



enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 29.11.05
Bjr Nelly!( c vrai que cette formule est très souvent oublié)

Pour la question 2) de mon exo j'ai déja essayé en faisant la limite de (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a ainsi que la limite (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0 mais pour x=1 je trouve une forme indéterminé "0/0".
Et qu'est-ce que la formule d'accroissement??
Merci pour ton aide
Bis
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Envoyé: 05.10.2005, 16:47

Constellation
ReDj

enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 30.11.05
On trouve pas de forme indéterminé, c'est pas 0/0 mais 0*0 donc 0 ;)


ReDj

Pour tous ceux qui sont rendu en post bac et qui désire partager leurs connaissances en STS, venez sur :
http://sos-sts.org
( sevice proposé pour les STS en 1ère ,2ème et 3ème année )
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Envoyé: 05.10.2005, 17:42



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dernière visite: 29.11.05
oki.mais si sa fait 0 alors la fonction est dérivable en x=1 c sa??
mais pour f'(1) ainsi que f'(-1) la calculatrice affiche error
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Envoyé: 06.10.2005, 00:35

Webmaster
Thierry

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dernière visite: 20.07.16
Pour ce qui est de la dérivabilité.
La méthode : on utilise les formules des dérivées. Si la dérivée peut être calculée à l'aide des formules alors la fonction est dérivable en ces points. Si on a une impossibilité de calcul (dans notre cas : division par zéro) alors on vérifie la dérivabilité à l'aide de la définition de la dérivée soit :
limh -> 0[f(1+h)-f(1)]/h

Je l'ai fait pour 1 : (dans ce cas h<0)

[f(1+h)-f(1)]/h = (2+h)racine[h²(-1-2/h)] /h = (2+h).|h|.racine(-1-2/h) /h

= -(2+h).racine(-1-2/h) car |h|=-h

Le passage à la limite h-> 0 donne inf/ donc pas dérivable. (La courbe admet une demi-tangente verticale)
Rappel de la définition de "dérivable" : il faut que la limite précédemment calculée existe et soit finie.

Pour -1 : le calcul se passe plus simplement et après simplification et passage à la limite on trouve 0 donc dérivable. (La courbe admet une demi-tangente horizontale)

Ne te fie pas à ce que te dit la calculatrice, elle ne fait qu'utiliser les formules de dérivation, ce qui explique qu'elle renvoie une erreur.

stephane : désolé je n'ai pas compris ton raisonnement par l'absurde (mais je suis apparemment le seul). En outre je doute que l'on puisse appliquer une telle méthode à toutes les situations.


Thierry
Prof de math à Paris : http://thierry.leprof.free.fr/
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Envoyé: 06.10.2005, 11:58

Constellation


enregistré depuis: sept.. 2005
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dernière visite: 29.10.05
Effectivement, je pense que c'est plus simple d'utiliser directement la définition. Mon raisonnement partait du constat que f=g*h est le produit d'une fonction dérivable en 1 et d'une fonction non dérivable en 1.
g(x)=(1+x)^(3/2)
h(x)=(1-x)^(1/2)
Mais comme on n'a pas de théorème pour en déduire directement que f n'est pas dérivable en 1, je la suppose dérivable et je remarque que 1/g est dérivable en 1.
Par le théorème usuel sur le produit des fonctions dérivables f/g est dérivable. Mais f/g=h, qui n'est pas dérivable, d'où l'absurdité.

En fait, comme une condition suffisante pour que 1/g soit dérivable en a est que g le soit et que g(a) diff/ 0 et g'(a) diff/ 0, il me semble qu'on peut énoncer le théorème suivant : si g(a) diff/ 0, si g est dérivable en a, de dérivée non nulle, et si h est non dérivable en a, alors g*h n'est pas dérivable en a.




modifié par : stephane, 06 Oct 2005 @ 12:12
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Envoyé: 06.10.2005, 20:28



enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 29.11.05
Merci beaucoup pour votre aide!!!!
En refaisant les calculs j'avait aussi trouvé que la fonction était dérivable en -1 mais je sais pas pourquoi j'étais persuadée du contraire.
En tout cas merci!!
@+ (car a mon avis je reviendrai)
Bis
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